Es la constante gravitacional $G$ ¿un número racional o un número irracional?

Question

Es la constante gravitacional $G$ ¿un número racional o un número irracional?

No sólo esto, ¿qué pasa con las preguntas similares sobre todas las constantes universales?

Answer 1

Las constantes fundamentales tienen valores arbitrarios, ya que dependen de la medida que se utilice para medirlas. Así que podríamos hacer $G$ racional mediante el uso de unidades donde $G=1$ . Así que la pregunta no tiene sentido allí.

Sin embargo, en física se suelen preferir los números adimensionales para denotar los parámetros fundamentales del universo por esta razón. Quizá el más conocido sea la constante de estructura fina $$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c}\approx 0.0072973525693(11) \approx \frac{1}{137}.$$ Durante un tiempo se creyó que podía ser exactamente 1/137, pero las mediciones lo han desmentido. En la actualidad no hay ninguna teoría que diga que tiene que ser racional o no.

Answer 2

Esto es incognoscible, porque todas las constantes físicas son cantidades medidas, y todas las cantidades medidas vienen con alguna incertidumbre, pero se necesita conocer la expansión decimal completa de una cantidad para saber si es racional o irracional.

La otra pregunta, por supuesto, es "¿en qué unidades?". Pero lo primero es cierto independientemente de las unidades que se utilicen, así que es discutible.

La excepción son los artificios como la velocidad de la luz en unidades del SI, que está fijada exactamente en 299792458 m/s por las definiciones del metro y del segundo, y por tanto, un "número racional", de forma trivial.

Answer 3

Me gustaría añadir algunos comentarios a este debate.

La constante gravitacional de Newton tiene dimensiones. Este es el punto de la respuesta de Gandalf61: Podemos definir la dimensión de $G_N$ al establecer $G_N = 1$ o haciendo alguna otra convención, o podemos intentar calcular $G_N$ en términos de otro parámetro dimensional. En este último caso, la pregunta original de Firdous tiene sentido. Si tenemos un parámetro dimensional $A$ podemos intentar demostrar una ecuación $G_N = C \cdot A$ y preguntar si $C$ es un número entero.

En la teoría cuántica de campos, solemos trabajar en "unidades naturales" en las que $c = 1$ y $\hbar = 1$ . Entonces $G_N$ tiene las dimensiones de (masa) $^{-2}$ . Si $M$ es alguna masa en la teoría, podemos preguntar si la teoría puede predecir $G_N = C \cdot M^{-2}$ , donde $C$ es un número entero.

De hecho, existe una teoría en la que esto es posible. Existe un modelo de teoría cuántica de campos llamado "modelo sigma no lineal" en el que los campos toman valores una esfera en lugar de, como es habitual, un espacio euclidiano plano. El radio de la esfera es una cantidad llamada $F_\pi$ que tiene las dimensiones de la masa. A continuación, consideremos la generalización supersimétrica de este modelo. En 1982, Edward Witten y Jonathan Bagger estudiaron el acoplamiento de este modelo a la supergravedad. Encontraron que hay restricciones topológicas que sólo pueden satisfacerse si $G_N = m/F_{\pi}^2$ , donde $m$ ¡es un número entero! Véase Witten y Bagger, Physics Letters B115, 202 (1982).

Este modelo es muy artificial. Además, requiere un gran bagaje teórico sofisticado para entenderlo. Probablemente, esto es de esperar; encontrar una ecuación para la constante de Newton no es un problema fácil de resolver. Sin embargo, proporciona una prueba de existencia concreta de que una solución al problema de Firdous puede ser posible.

Answer 4

El valor de $G$ depende de las unidades en las que se mida, por lo que esta cuestión no está bien definida. En unidades del SI $G$ es casi seguramente irracional, ya que casi todos los números reales son irracionales. Pero se puede optar por utilizar un sistema de unidades en el que $G=1$ En este caso, por supuesto, sería racional.

Tiene un poco más de sentido hacer esta pregunta sobre las constantes físicas que son adimensional . Por lo que sabemos, ninguna de las constantes físicas adimensionales que se dan en la naturaleza son racionales (aunque sin duda se podrían construir algunos ejemplos artificiales). Físico Arthur Eddington tenía la teoría de que el recíproco de la constante de estructura fina era un número entero, pero mediciones más precisas de su valor demostraron que eso era incorrecto.

Answer 5

En primer lugar, el valor numérico de un dimensiones La cantidad en física no es particularmente significativa, porque siempre puedo cambiar a un sistema de unidades diferente donde tenga cualquier valor numérico que quiera. Por ejemplo, es muy común en la física gravitacional trabajar en unidades donde el valor numérico de $G$ es exactamente igual a 1.

Aun así, puede hacer su pregunta sobre adimensional cantidades. Un ejemplo en el que $G$ hace su aparición sería la proporción de la mitad del radio de Schwarzschild de la Tierra, $2 GM_\oplus/c^2 \approx 1\ {\rm inch}$ (donde $M_\oplus$ es la masa de la Tierra), al radio real de la Tierra, $R_\oplus=6400\ {\rm km}$ . La proporción (llámese $C_\oplus$ ) es aproximadamente $\alpha=1.4 \times 10^{-9}$ y nos dice que tendríamos que comprimir la Tierra unas mil millones de veces su tamaño actual (lineal) para formar un agujero negro. Es $C_\oplus$ ¿Racional o irracional?

Para que $C_\oplus$ para ser irracional, necesitaríamos conocer su valor con infinitos decimales, y demostrar que no se repiten. Aquí hay algunos problemas.

• Eventualmente, cuando empezamos a computar $C_\oplus$ a muchos decimales, nos encontraremos con que las suposiciones del modelo simple con el que empezamos (como que la Tierra es una esfera) se desmoronan. A nivel microscópico, ni siquiera es posible definir el tamaño de la Tierra a lo largo de un eje, ya que las moléculas de la corteza terrestre se mueven aleatoriamente, y hay efectos cuánticos que hacen que las posiciones de estas moléculas se dispersen. Hay muchos físico fuentes de incertidumbre que hacen que este número no esté realmente bien definido más allá de un cierto número de decimales. Sin embargo, hay cantidades adimensionales que (hasta donde podemos decir con nuestro estado actual de conocimientos) son más fundamentales, como la constante de estructura fina en el electromagnetismo. Podríamos preguntarnos si una constante fundamental es racional o irracional.
• Incluso en el caso de las constantes fundamentales, como la constante de estructura fina, sólo las conocemos experimentalmente. Por tanto, sólo conocemos un número finito de dígitos de la constante. Así que nunca podremos saber realmente la respuesta a si la constante es irracional o racional, pero en términos prácticos cualquier número en la física es siempre racional (o más precisamente, su valor de "mejor estimación" es racional, y también viene con una estimación de valor racional de nuestra incertidumbre sobre el valor de mejor estimación).
• Por último, lo más abstracto y extraño es que las constantes fundamentales no son realmente constantes, sino que cambian con la energía debido al grupo de renormalización, así que incluso si pudiéramos responder a esta pregunta para una constante y un valor de energía, la respuesta en sí misma podría depender de la escala de energía a la que se haga la pregunta.

Creo que una de las conclusiones es que los números irracionales son realmente muy extraños. Cualquier número que podamos construir tecleando en una calculadora o aplicando una serie de operaciones aritméticas, es por definición un número racional. Dicho esto, son una abstracción extremadamente útil para describir funciones continuas, aunque en la práctica, debido a nuestra precisión finita, en física nunca realmente tratar con funciones continuas en un sentido matemático [veamos los comentarios que recibo al respecto...]