Cómo se puede encontrar este límite

Question

$$\lim_{x\to \infty}\frac{\ln(2x+3)}{2e^{x+1}-2}$$ ¿Cómo se puede calcular este límite? sin la regla de L' Hopital

Answer 1

Desde $\ln(2x+3)\ll 2e^{x+1}-2$ como $x\to\infty$ sabes que el límite es cero.

Answer 2

$e^t\ge 1+t$ para todos $t\in\mathbb R$ debería ser conocido. Esto implica $e^t=(e^{t/2})^2\ge (1+\frac t2)^2=1+t+\frac{t^2}4>\frac14t^2$ para todos $t\ge 0$ . Al tomar la función inversa también implica $\ln(1+t)\le t$ para todos $t>-1$ .

Answer 3

Cuando $x\nearrow\infty$ , $$ \frac{\ln(2x+3)}{2e^{x+1}-2} = \frac{\ln x + \ln(2+3/x)}{e^{x}(2e-2e^{-x})} \sim \frac{\ln x}{2e e^x} $$ Ahora, ¿qué puede decir sobre el límite de $\frac{\ln x}{e^x}$ ?