Considere $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ , donde $c\neq0$ y $f(x)$ no es igual a una constante. ¿Es necesariamente cierto que $f^{[n]}(x)=f(x)$ para algún número natural $n > 1$ ?
Respuestas
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Philip Fourie
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Considere $f(x)=\frac{x}{x+1}$ . Entonces $f^{[n]}(x)=\frac{x}{nx+1}$ .
Si esto es cierto para algunos $n$ (y es para $n=1$ ) entonces $$\begin{align}f^{[n+1]}(x)&=\frac{\frac{x}{x+1}}{n\frac{x}{x+1}+1}\\ &=\frac{x}{nx+(x+1)}\\ &=\frac{x}{(n+1)x+1}\end{align}$$ Y así, por inducción $f^{[n]}(x)=\frac{x}{nx+1}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Esto muestra $f^{[n]}$ nunca será igual a $f$ para $n\in\mathbb{N}$ .
MaxB
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Sugerencia: para cada función $f$ considere la matriz correspondiente $$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}.$$ (Supongamos que las matrices se normalizan de manera que $\det \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} = 1$ . El grupo de tales matrices se denota por $SL(2, \mathbb{R})$ el conjunto de tales mapas $f$ es isomorfo al grupo $SL(2, \mathbb{R})$ . Ver http://en.wikipedia.org/wiki/SL2%28R%29 .)
Obsérvese que la matriz correspondiente a la composición de funciones $f$ y $g$ es igual al producto de las matrices correspondientes a las funciones $f$ y $g$ . Así, el problema se reduce a encontrar una matriz $A$ tal que $A^n \neq A$ por cada $n > 1$ . Podemos elegir $$A = \begin{pmatrix} \cos \psi & \sin \psi\\ -\sin \psi & \cos \psi\end{pmatrix},$$ donde, $\psi$ es tal que $\psi/\pi \notin {\mathbb Q}$ por ejemplo $\psi = 1$ . Entonces $$A = \begin{pmatrix} \cos (\psi n) & \sin (\psi n)\\ -\sin (\psi n)& \cos (\psi n)\end{pmatrix} \neq A.$$
eljenso
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Dejemos que $f(x)=1/(x+1)$ . Entonces $f(f(x))=(x+1)/(x+2)$ y $f(f(f(x)))=(2x+3)/(3x+5)$ siendo los siguientes $$\frac{3x+5}{5x+8},\frac{5x+8}{8x+13},\frac{8x+13}{13x+21},\frac{13x+21}{21x+34}.$$ Al continuar esta serie, se obtienen coeficientes que son números de Fibonacci adyacentes. Esto se puede demostrar por inducción. Así que ninguna iteración superior de esta $f(x)$ es la función inicial $f(x)$ y de hecho ningún término de la serie de iteraciones es igual como función.
