¿Hay menos enteros positivos que todos los enteros?

Question

En nuestra clase de matemáticas de 6º grado nos introdujeron el concepto de números enteros. Con toda la charla sobre positivos y negativos, me hizo preguntarme. ¿Es la cantidad de elementos en $\mathbb{Z^+}$ menos que la cantidad de elementos en $\mathbb{Z}$ ?

Esto es lo que he pensado. Si tenemos $\mathbb{Z^+}$ y añadir un elemento a la "espalda" de la misma ( $\mathbb{Z}^{\geq-1}$ ) ciertamente hay más elementos en ese nuevo conjunto, por lo que debe haber más elementos en $\mathbb{Z}$ que en $\mathbb{Z}^+$ pero por otro lado si tratamos de expresar la cantidad de elementos en ellos "numéricamente" (En un sentido laxo de la palabra) ambos tienen $\infty$ elementos.

¿Cuál es la respuesta correcta? ¿Hay alguna?

(Tenga en cuenta que soy un poco lego en matemáticas)

Editar: Sobre el posible duplicado, no estoy buscando una biyección entre los dos conjuntos, estoy buscando si incluso tienen el mismo número de elementos y por qué una biyección muestra que sí/no

Answer 1

Ya hay muchas respuestas maravillosas, pero quiero mostrarte un punto adicional, que a menudo se descuida. La cuestión es que la palabra "más" se vuelve ambigua cuando se empieza a hablar de conjuntos infinitos.

Mira el conjunto de todos los enteros no negativos (N0) y el conjunto de todos los enteros positivos (N*). Es completamente correcto (aunque engañoso) decir que N0 tiene un elemento más que N*. Después de todo, N0 = N* U {0}, la unión es disjunta, y {0} tiene ciertamente un elemento. Y hay una forma precisa de formular estas cosas: la ecuación k(N0) = k(N*) + 1 es completamente correcta desde el punto de vista matemático.

Pero hay otro sentido en el que se puede entender "más": que el número de números naturales no negativos es mayor (y diferente) que el número de números naturales positivos. Eso es obviamente falso, y la forma más fácil de verlo es considerar la secuencia infinita de trozos de papel. El primero tiene 0 en un lado y 1 en el otro. El segundo tiene el 1 en una cara y el 2 en la otra. El tercero tiene 2 en un lado y 3 en el otro. Y así sucesivamente... Estoy seguro de que entiendes el patrón.

Ahora, si te pregunto cuántos trozos de papel hay, es obvio que sería correcto decir que hay tantos como enteros no negativos. Y después de darles la vuelta, sería correcto decir que hay tantos como enteros positivos. Si ahora te das cuenta de que al darle la vuelta a cada papel individual no cambiaron sus número , usted tienen para acordar que hay tantos enteros no negativos como enteros positivos.

¿Cómo es posible? Simplemente, como he dicho, la frase "hay más As que Bs" puede significar "hay x más As que Bs", es decir, a = b + x; y puede significar "el número de As es mayor que el de Bs", es decir, a > b. Lo primero simplemente no implica lo segundo. Incluso para conjuntos finitos esto no tiene por qué ser cierto, si x es cero. Es que para conjuntos infinitos, hay más valores "despreciables" de x.

Answer 2

Hay mucha gente de pie en la calle.

Si voy y me quedo allí con ellos, seguirá habiendo mucha gente de pie en la calle.

P.D.: Piensa en la "abundancia" como en el "infinito".

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Answer 3

Menor que, mayor que e igual a se aplican a los conjuntos finitos. No tiene sentido comparar dos conjuntos infinitos.