¿Hay menos enteros positivos que todos los enteros?

Question

En nuestra clase de matemáticas de 6º grado nos introdujeron el concepto de números enteros. Con toda la charla sobre positivos y negativos, me hizo preguntarme. ¿Es la cantidad de elementos en $\mathbb{Z^+}$ menos que la cantidad de elementos en $\mathbb{Z}$ ?

Esto es lo que he pensado. Si tenemos $\mathbb{Z^+}$ y añadir un elemento a la "espalda" de la misma ( $\mathbb{Z}^{\geq-1}$ ) ciertamente hay más elementos en ese nuevo conjunto, por lo que debe haber más elementos en $\mathbb{Z}$ que en $\mathbb{Z}^+$ pero por otro lado si tratamos de expresar la cantidad de elementos en ellos "numéricamente" (En un sentido laxo de la palabra) ambos tienen $\infty$ elementos.

¿Cuál es la respuesta correcta? ¿Hay alguna?

(Tenga en cuenta que soy un poco lego en matemáticas)

Editar: Sobre el posible duplicado, no estoy buscando una biyección entre los dos conjuntos, estoy buscando si incluso tienen el mismo número de elementos y por qué una biyección muestra que sí/no

Answer 1

¡Gran pregunta!

Antes de abordarlo directamente, permítanme hacer una observación general:

Cuando se habla del infinito, es importante precisar todas las nociones.

Básicamente, muchas veces, si hacemos preguntas vagas la respuesta acaba siendo "depende". Y esto no quiere decir que estas preguntas vagas no sean interesantes; al contrario, la cuestión es que son así que interesante, que en realidad son muchas preguntas en secreto, enrolladas en una sola.

Así que a tu pregunta. Básicamente, esto se reduce a lo que quieres decir con "cantidad"; voy a responder por el sentido habitual de la palabra "cantidad" en la teoría de conjuntos.

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Cardinalidad . Digamos que dos conjuntos $A$ y $B$ tienen el mismo tamaño si y sólo si existe una biyección entre ellos - es decir, si existe una función $f: A\rightarrow B$ (toma un elemento de $A$ escupe un elemento de $B$ ) que "empareja" elementos de $B$ con elementos de $A$ Es decir, que.., $f(a)=f(b)\implies a=b$ (la función es inyectiva ) y para cada $c\in B$ Hay un poco de $a\in A$ con $f(a)=c$ (la función es surjective ).

¡Esta es una hermosa noción de tamaño! Tiene sentido sin importar el tipo de conjuntos $A$ y $B$ son, todavía podemos preguntar si hay una biyección entre ellos o no. Además, para los conjuntos finitos coincide con nuestra noción habitual de "mismo tamaño".

Al mismo tiempo, es algo sutil: por ejemplo, hay una biyección entre el conjunto de todos los enteros y el conjunto de los enteros pares, aunque pensemos que hay "más" de los primeros. La biyección es simplemente $$f(x)=2x.$$ Del mismo modo, existe una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$ Por lo tanto, en este sentido tienen el mismo tamaño.

Una respuesta natural en este punto es preguntar: "¡Un momento! Si las biyecciones ni siquiera pueden distinguir entre los pares y los enteros, ¿pueden diferenciar entre cualquier par de conjuntos infinitos". Es decir, ¿hay diferentes tipos de infinito, en el sentido de las biyecciones? La respuesta, quizá sorprendente, es ¡Sí! Este es el teorema diagonal de Cantor, y fue el comienzo de la teoría de conjuntos moderna: El argumento diagonal de Cantor .

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Una pregunta natural en este punto es: "¿Son las biyecciones la herramienta adecuada para medir los tamaños de los conjuntos infinitos?" Basándonos en los siguientes hechos, es bastante razonable ser escéptico:

• Hay biyecciones entre cada uno de los siguientes conjuntos: $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ .

• Existe una biyección entre $(0, 1)$ y $\mathbb{R}$ .

• Existe una biyección entre el conjunto de enteros y el conjunto de cadenas finitas de enteros.

• Existe una biyección entre el conjunto de números reales y el conjunto de secuencias infinitas de números reales. (Bien, por "secuencia infinita" quiero decir " $\omega$ -secuencia").

Es imposible argumentar matemáticamente que las biyecciones son la "mejor" manera de obtener una noción de los tamaños del infinito, ya que el "tamaño del infinito" es un concepto informal. Pero podemos dar algunos buenos argumentos de por qué es al menos la mejor noción que tenemos hasta ahora:

• Es realmente la forma de contar conjuntos finitos. Si les doy dos montones gigantes de canicas, y les pido que me digan si hay el mismo número de canicas en cada montón, probablemente lo resolverían quitando una canica de cada montón al mismo tiempo, y seguirían haciéndolo hasta que uno o ambos montones se quedaran sin canicas. Si se agotan al mismo tiempo, tienen el mismo tamaño, si no, no. En caso de que se agoten al mismo tiempo, ¡lo que has hecho es construir una biyección entre los dos montones!

• Los "tamaños del infinito" son cosas que podemos estudiar. Si asumimos el axioma de elección, podemos demostrar que dados dos conjuntos cualesquiera, o bien tienen el mismo tamaño o bien uno es "mayor" que el otro (es decir, hay una inyección de uno a otro). Esto es realmente algo que nos dan las biyecciones: sin el lenguaje de las biyecciones, ¿qué dirías que es más grande, el conjunto de enteros pares o el conjunto de enteros Impares?

• Ya estamos interesados en las biyecciones. Hay muchos teoremas en matemáticas que básicamente ya hablan de los tamaños en términos de biyecciones. Por ejemplo, si $A$ es un conjunto de números reales, ¿existe alguna función $f$ cuyos extremos locales son exactamente los puntos en $A$ ? La respuesta resulta ser: "Sí, si y sólo si $A$ es finito o en biyección con $\mathbb{N}$ ." Hay muchos otros ejemplos de este tipo. Así que el tamaño en términos de biyección ya es matemáticamente interesante.

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Por cierto, Alex S ha dado un ejemplo explícito de una biyección entre $\mathbb{Z}^+$ y $\mathbb{Z}$ . No puedo resistirme a dar una de mis biyecciones favoritas, entre $\mathbb{N}$ y el conjunto $\mathbb{N}^2$ de pares ordenados de los números naturales: el Función de emparejamiento de Cantor ¡! Nota: para mí, $0$ es un número natural - ¡no hay canguros en mi nevera!

EJERCICIO: utilizando la función de emparejamiento de Cantor, proponga una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Q}$ . No quedará tan bien, pero puedes hacerlo.

NOTA FINAL: ¿y si restringimos la atención a las biyecciones "bonitas", sea lo que sea que eso signifique? Esto resulta ser súper interesante, y conduce (al menos en una dirección) a teoría descriptiva de conjuntos pero eso es un tema para otra pregunta.

Answer 2

Buena pregunta Cuando hablamos del tamaño de los conjuntos, decimos que los conjuntos $A$ y $B$ son iguales si existe una función $f$ que toma elementos en $A$ y los elementos de salida en $B$ que tiene dos propiedades:

• si $a$ es un elemento de $A$ y $f(a)=b$ , donde $b$ es un elemento de $b$ , entonces ningún otro elemento de $A$ mapas a $b$ . En otras palabras, no hay $a'$ en $A$ tal que $f(a')=b$ a menos que $a=a'$
• Para todos $b$ en $B$ existe un $a$ en $A$ tal que $f(a)=b.$

Una función con estas dos propiedades se denomina biyectiva función. ¿Puedes ver por qué dos conjuntos finitos tienen el mismo tamaño si y sólo si existe una función biyectiva entre ellos? Los matemáticos extienden esta idea a los conjuntos infinitos.

Ahora veamos si existe una función biyectiva desde $\mathbb Z^+$ a $\mathbb Z$ . Considere $$f(x)=\cases{x/2 & \text{ if $ x $ is even}\\-(x-1)/2 & \text{ if $ x $ is odd}}.$$

Así, $$f(1)=0$$ $$f(2)=1$$ $$f(3)=-1$$ $$f(4)=2$$ $$f(5)=-2$$ $$\vdots$$ La lista continúa. ¿Puedes ver por qué $f$ es biyectiva? Cada número entero se asigna exactamente a un tiempo. Por lo tanto, $\mathbb Z^+$ y $\mathbb Z$ son del mismo tamaño.

Answer 3

Tu intuición te falla aquí porque estás empezando a considerar lo que ocurre con los conjuntos infinitos. Todo lo que has aprendido sobre los números se aplica realmente a los conjuntos finitos.

El conjunto de todos los enteros positivos tiene en realidad el mismo tamaño que el conjunto de todos los enteros. Esto se debe a que puedo encontrar una manera de "emparejar" todos los elementos de un conjunto con un único elemento del otro conjunto.

Con el tiempo, podrás decir:

La cardinalidad del conjunto infinito de enteros positivos es la misma que la del conjunto infinito de enteros porque existe una biyección entre ambos conjuntos.

Answer 4

He aquí un intento de respuesta más intuitiva:

En primer lugar, tienes que darte cuenta de que el razonamiento intuitivo común que tienes (como "si añadimos un elemento más, obtenemos más elementos") se limita a conjuntos finitos, y no funciona del todo para conjuntos infinitos. En cierto sentido, tratar con el infinito requiere que "olvides" lo que sabes y empieces de cero.

Una buena manera de ver el problema es considerar La paradoja de Hilbert del Gran Hotel que describiré brevemente aquí:

Hay un hotel con un número infinito de habitaciones, numeradas 1, 2, 3, ... (sin fin). Actualmente, cada habitación está ocupada por un huésped. Entonces llega un nuevo huésped y pide una habitación. ¿Está realmente lleno el hotel? Básicamente sí, pero el recepcionista envía un mensaje a cada huésped para que se traslade a la siguiente habitación (al mismo tiempo), y de repente la habitación 1 está disponible. Sigue teniendo el mismo número de habitaciones, pero ahora puede añadir un huésped más.
¿El hotel tiene ahora más huéspedes? Si mira los huéspedes, aparentemente tiene uno más, pero las habitaciones están igual de ocupadas que antes.

¿Y si hay un número infinito de nuevos invitados en lugar de uno solo? Llamémosles N1, N2, N3, etc., y a los antiguos huéspedes O1, O2, O3, etc. Pues bien, es sencillo: pida a cada antiguo huésped On que se traslade de la habitación n a la 2n, y entonces podrá acomodar a cada nuevo huésped Nn en la habitación 2n-1. De nuevo, sigues teniendo el mismo número de habitaciones, y cada habitación está ocupada por un huésped, igual que antes.

La primera situación coincide con su $\mathbb{Z}^{\geq-1}$ caso, y la segunda situación coincide con su $\mathbb{Z}$ caso, como cuando se compara $\mathbb{Z^+}$ con $\mathbb{Z}$ puede asociar el lado izquierdo ( $\mathbb{Z^+}$ ) con las habitaciones, los números positivos de la derecha con los antiguos huéspedes, y los números negativos con los nuevos huéspedes.

Así que hay tantos enteros positivos como todos los enteros. En términos simples, $\infty$ + 1 = $\infty$ y $\infty$ + $\infty$ = $\infty$ Sin embargo, no intentes restarlos, ya que no son números reales.

Por último, la correspondencia entre huéspedes y habitaciones (cuando el hotel está lleno) es una biyección, y todos los infinitos de los que he hablado antes son "contables"; hay otros tipos de infinitos "mayores" que son incontables y no tienen una biyección con $\mathbb{Z}$ Un ejemplo es $\mathbb{R}$ .

Answer 5

Como se ha mencionado en las otras respuestas, los conjuntos $\Bbb{N},\Bbb{Z}$ tienen el mismo "tamaño" porque existe una biyección entre ellos. Sin embargo, se puede utilizar otra medida del tamaño de los conjuntos infinitos, la densidad. La densidad se define como $\lim_{n\to\infty} \frac{A(n)}{n}$ , donde $A_n$ es el número de elementos de su conjunto. Encontramos que la densidad es $\frac 12$ .