Ejemplo de construcción de un polinomio irreducible con raíces distintas que tienen la misma multiplicidad

Question

Un ejercicio de Álgebra Básica 1 de Jacobson pide demostrar que si $F$ es un campo de característica $p$ entonces para cualquier polinomio irreducible sobre $F$ sus raíces en el campo de la división ocurren con la misma multiplicidad.

Si tomamos un campo finito, entonces las raíces del polinomio irreducible se darán con multiplicidad $1$ en el campo de la división.

Si tomamos $\mathbb{F}_p(t)$ entonces el polinomio irreducible $x^{p}-t$ tendrá una única raíz con multiplicidad $p$ .

¿Cómo podemos construir ejemplos de polinomios irreducibles sobre campos de característica $p$ cuyas raíces son distintas y ocurren con multiplicidad $>1$ ¿en el campo de la división?

Answer 1

Dejemos que $F=\mathbb{F}_p(t)$ . Tome cualquier polinomio separable $g\in F[X]$ que es $\pi$ -Eisenstein para algún irreducible $\pi\in \mathbb{F}_p[t].$ En particular, $g$ es irreducible.

Por ejemplo, $g=X^2+tX+t$ hace el trabajo.

A continuación, establezca $f=g(X^{p^k})$ para un número arbitrario de $k\geq 1$ . Por construcción, $f$ sigue siendo $\pi$ -Eisenstein, por lo tanto irreducible.

Ahora $f$ tiene $\deg(g)$ raíces, todas de multiplicidad $p^k$ .