Convergencia de $a_{n}$

Question

Dado $\lim_{n\to \infty} (a_n + b_n) = c ∈ R $ .

Y dado $\lim_{n\to \infty} (b_n) = \infty$ .

¿Cómo puedo comprobar si $a_n$ es convergente? (y si converge, ¿lo hace a un número finito o al infinito?)

Answer 1

Dejemos que $c_n=a_n+b_n$ . Entonces $a_n =c_n -b_n $ . Esto da $a_n \to - \infty$ .

Answer 2

Esto se puede demostrar también por contradicción.

Supongamos que $a(n)$ es convergente y digamos que converge a $p$ .

Así que, $lim_{n\to\infty}(a(n)+b(n))=p+\infty=\infty$ lo cual es una contradicción.

Así que, $a(n)$ debe divergir. Puede divergir hasta $+\infty$ o $-\infty$ .

Pero si $a(n)\to+\infty$ entonces de nuevo $lim_{n\to\infty}(a(n)+b(n))=+\infty$ lo cual no es cierto.

Por lo tanto, $a(n)$ debe divergir a $\color{red}{-\infty}$ .