Demuéstralo: Todo espacio métrico compacto es separable

Question

Cómo demostrar que todo espacio métrico compacto es separable $?$

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Una pista: Consideremos la familia contable de coberturas $\mathcal U_n=\left\{B\left(x,\frac1n\right)\mid x\in X\right\}$ para todos $n$ Utiliza la compacidad para destilar una familia contable de puntos y demuestra que es densa.

Answer 2

Recordemos que todo subconjunto infinito $E$ de un espacio métrico compacto $X$ tiene un punto límite en $X$ . Ahora define un proceso recursivo como el siguiente: Fijar algún $\delta > 0$ y elegir un $x_1 \in X$ . Ahora, habiendo definido $x_1,\ldots,x_n$ Si es posible, elija $x_{n+1}$ tal que $d(x_{n+1},x_i) \geq \delta$ para todos $1 \leq i \leq n$ . Ahora afirmamos que este proceso debe terminar. Pues supongamos que no lo hace. Consideremos $$E = \{x_1,x_2,x_3,\ldots \}.$$

Ahora, por la suposición de $X$ siendo compacto, $E$ tiene un punto límite $a \in X$ decir. Pero entonces $B_\frac{\delta}{2}(a)$ sólo puede contener como máximo un punto de $E$ una contradicción. De ello se desprende que $X$ puede ser cubierto por un número finito de vecindades de radio $\delta$ sobre algunos puntos $x_1,\ldots,x_n$ . Ahora bien, ¿qué sucede si se consideran todas las bolas de radio $\frac{1}{m}$ sobre cada uno $x_i$ para $1 \leq i \leq n$ ? Esto será contable, pero por qué será denso en $X$ ? $m$ por cierto pasa por todos los enteros positivos.