Dada una función $f \in L^1$ y un núcleo acotado (con soporte compacto) $k$ , esta respuesta sugiere utilizar el Teorema de Convergencia Dominada para obtener $$ D(f \star k)(x) = f \star (Dk)(x). $$ Mi pregunta es : cuál es la función dominante $g$ ¿es una condición necesaria para poder aplicar el DCT?
Además, ¿se pueden debilitar las condiciones de manera que $f$ es sólo localmente integrable y $k$ tiene un soporte no compacto, siempre que la integral de convolución siga existiendo?
Mi intento:
El DCT se utiliza de la siguiente manera:
\begin{align} D(f \star k)(x) =& \lim_{n\to\infty}n(f\star k(x+\tfrac1n) - f\star k(x))\\ =&\lim_{n\to\infty} \int n \, f(t) \, (k(x+\tfrac1n-t)-k(x+\tfrac1n)) \, dt \\ {(DCT)? \atop =}& \int \lim_{n\to\infty} n \, f(t) \, (k(x+\tfrac1n-t)-k(x+\tfrac1n)) \, dt \\ =& \int f(t) \, Dk(x-t) \, dt \\ =& f \star (Dk)(x). \end{align}
Nombrar los términos bajo la integral \begin{align} h_n &:= n \, f(t) \, (k(x+\tfrac1n-t)-k(x+\tfrac1n)), \\ h &:= f(t) \, Dk(x-t), \end{align} tenemos la convergencia puntual de $h_n \to h$ . Para aplicar la DCT, necesitamos encontrar una función dominante $g$ que satisface: $$ |h_n(x)| \le g(x). $$
