Es universitarios avanzados de matemáticas (por ejemplo, análisis, resumen/álgebra lineal, topología) supone para ser lo más intuitiva primaria de matemáticas?

Question

Así que no sé si yo no soy lo suficientemente inteligente para las matemáticas, pero últimamente, me parece como si algunos temas avanzados son demasiado intuitivo , en mi opinión.

Por ejemplo, no tengo idea de lo autovalores, jacobians o colectores realmente son, y es una cosa similar con la mayoría de álgebra abstracta (o al menos yo nunca he sido informado de cómo los matemáticos se acercó con estos tipos de conceptos -yo no sé ni lo que motivó la formulación de una matriz).

Y no es sólo el álgebra. Aunque hacía bastante bien (intuición-wise) en una variable cálculo, no tengo absolutamente ninguna idea de por qué las soluciones a ecuaciones diferenciales sentido, o la idea detrás de operadores diferenciales.

Así que, creo que una de estas cosas es lo que pasa aquí:

a) yo no soy lo suficientemente inteligente como para tener la intuición de estos conceptos en mi propia;

b) es complicado, pero posible, para entender intuitivamente estos conceptos. El problema es que este sistema educativo no poner demasiado énfasis en la profundidad de la comprensión;

c) Nadie sabe muy bien de estas áreas de matemáticas, acabamos de aplicar las reglas y estamos profundamente sorprendido por lo mucho que se puede ir con ellos.

Que uno de estos es el caso? Yo realmente podría utilizar un poco de orientación.

Answer 1

Mi experiencia es que si pasas suficiente tiempo, tanto activamente como pasivamente (inconscientemente) el pensamiento sobre el material, estos conceptos matemáticos a ser tan natural como el respirar. Es un proceso lento al principio (a mi me llevó hasta mi segundo año de pregrado para realmente empezar a entender lo que la matemática era realmente), pero una vez que usted tiene suficiente experiencia y conocimiento de la piscina para dibujar se convierte en segunda naturaleza.

Algunas personas llaman a este proceso "madurez en matemáticas", pero el principio básico se mantiene: Poner el tiempo y la intuición se vienen. Ahora, es muy posible que la capacidad para la comprensión y el aprendizaje está delimitado por las primas de inteligencia limitaciones pero me imagino cualquier persona de inteligencia promedio puede comprender al menos de cálculo en un razonable nivel profundo. La mayoría de la gente sólo falta la paciencia y la unidad para dominar el material hasta el punto de que se convierte en natural.

Siendo más de la analítica de la persuasión, que tienden a ver la matemática como una interacción entre tres cosas principales (muy informal):

1. Los objetos matemáticos y los espacios a los que pertenecen
2. Asignaciones entre estos espacios de objetos (que a menudo se convierten en los objetos mismos)
3. Las estructuras de estos espacios

Estos conceptos serán mucho más comprensible si usted primero entender qué clase de objetos está trabajando con, y luego considerar cómo estos objetos puede ser transformado (o cómo se transforman otra clase de objetos) dentro de otros objetos matemáticos. A partir de ahí, se puede considerar cómo estos se comportan los objetos en relación con la otra relativa al conjunto o espacio en el que residen.

Sólo como un ejemplo que todos los lazos de su "intuitivo" conceptos juntos, considere el operador lineal $D:C^{k} \to C^{k-1}$ dada por $$ D=\frac{d}{dx} $$ ahora la única eigenfunction para este operador es $f=e^{\lambda x}$ donde $\lambda \in \mathbb{R}$ ya que sabemos de cálculo que $$ Df=\lambda e^{\lambda x} $$ por lo $\lambda$ es un autovalor de cualquier $\lambda \in \mathbb{R}$. Tenga en cuenta que desde $D$ es un operador lineal, se puede pensar en él como un infinito dimensiones de la matriz. Ver las maneras en que estos conceptos se unen a menudo puede aclarar/solidificar aproximada de la intuición.

Answer 2

Soy un estudiante de la escuela secundaria, así que no tengo idea de lo que un Jacobiano o un colector, pero como alguien que se auto-estudió álgebra lineal y álgebra abstracta, creo que es bastante complejo y requiere de un lugar inteligente/persona dedicada para pasar estas clases, por lo que definitivamente eres lo suficientemente inteligente como para entender estos conceptos.

En mi opinión, estos campos son de tipo intuitivo en algunos aspectos. Honestamente, no tengo idea de cómo los matemáticos se acercó con todo esto, en especial con los más avanzados (bueno, avanzado a mí) de las piezas de estos campos, como el campo de la aritmética o de la teoría de Galois o todos los de este espectro y teorema de Schur de descomposición/lema cosas que estoy aprendiendo ahora. Sin embargo, he visto un montón de buenas explicaciones en internet, especialmente a partir de la observación de las respuestas en este sitio, así que creo que tengo una mejor intuición de algunos estudiantes universitarios. Si eres un estudiante de la universidad en un horario estricto, usted no tiene el tiempo libre para explorar las matemáticas, al igual que yo, así que mi suposición es que es b) y que el sistema educativo no se centra la atención suficiente en la comprensión y en su lugar se centra en conseguir que los estudiantes que pasan los grados y grados.

Ahora, sé que el principio de álgebra lineal bastante bien ya que he revisado y consolidó los conceptos y definitivamente puedo decir cómo matrices han ayudado a mí. Tal vez este y algunos de los enlaces de abajo le ayudará a ganar la intuición en algunas cosas.

Matrices nos ayudan a resolver problemas de sistemas de ecuaciones. Por ejemplo: $$3x+2y=1$$ $$4x+5y=2$$ El uso de Álgebra I en el conocimiento, podemos resolver esto mediante la eliminación. Dividir la primera ecuación por $3$, restar la segunda ecuación por $4$ veces que deshacerse de $x$, dividir la segunda ecuación por $\frac 7 3$ a resolver para $y$ y restar la primera ecuación por la $\frac 2 3$ el secone ecuación a resolver para $x$.

Esta es la eliminación, pero este es el mismo proceso que se utiliza para RREFing la siguiente matriz: $$\left[\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 2 \end{de la matriz}\right]$$ Si usted RREF que la matriz de forma manual, básicamente, va a terminar con la misma fila operaciones como hemos manipulado las ecuaciones. Por lo tanto, las matrices y RREFing ellos está literalmente a la resolución de sistemas de ecuaciones con la eliminación. Sin embargo, es difícil ver que ya no hay ninguna de las variables; estamos simplemente la manipulación de los coeficientes. Es aún más difícil ver que con 3x3 y 4x4 matrices cuando esto se vuelve cada vez más tiempo prolongado y cuando algunas personas prefieren utilizar la sustitución o adivinar y comprobar dichos sistemas. Sin embargo, con este método de la matriz y RREFing, tenemos un algoritmo que hace que sea mucho más fácil hacer esto sin pensar o con un equipo. Mediante el uso de este repetitivo, aburrido algoritmo, apuesto a que los matemáticos fueron capaces de resolver sistemas mucho más rápido, ya que no es necesario hacer un seguimiento de las variables y que no había necesidad de elegir entre la eliminación o sustitución. Se podía hacer el algoritmo y que no hay pensamiento que intervienen. Mediante el uso de este tipo de repetitivo/formato familiar de matrices, hace que la resolución de sistemas de ecuaciones más rápido. RREFing básicamente resuelve el problema de los sistemas lineales, por lo que el uso de este rote el método de las matrices y RREFing permite matemáticos para resolver sistemas lineales de forma rápida y centrarse en la más compleja, problemas interesantes.

Ahora, espero que esta explicación te ayudaron a comprender las matrices, pero hay algunos conceptos más avanzados que creo que otras explicaciones que pueden ayudar a usted con el mejor:

• Menos plazas aproximación $\rightarrow$ Este video me enseñó por qué en el mundo tenemos cosas como "a la izquierda nullspace" y "complementos ortogonales." Estos conceptos encajan en problemas del mundo real como el de los mínimos cuadrados aproximados, y es genial cómo los conceptos abstractos en álgebra lineal puede venir juntos en algo útil como este.
• Eigenbases $\rightarrow$ Esto me enseñó cómo eigenbases puede aumentar la velocidad de los cálculos y, por lo tanto, los vectores propios puede ser útil si alguien necesita aplicar una cierta transformación lineal repetidamente.
• Álgebra abstracta: Teoría y Aplicaciones a $\rightarrow$ online libros de texto muestra una gran cantidad de detrás de las aplicaciones de álgebra abstracta y nos da una motivación para hacerlo. Tiene un montón de problemas de práctica y estos a prueba de problemas me llevó horas y horas para resolver, pero tengo una mucho mejor intuición acerca de este campo a causa de ella.

En definitiva, he aprendido mi intuición acerca de las matemáticas debido a las buenas explicaciones en internet y una gran cantidad de problemas de práctica. Explorar las matemáticas, escuchar las explicaciones en línea, hacer preguntas a sus profesores y posiblemente este foro y obtendrá una mejor intuición matemática acerca de los conceptos matemáticos que parecen complejos para ti ahora, pero por el camino, se hacen mucho más sentido. Hace un año, todos los conceptos que he explicado anteriormente (excepto, tal vez, matrices) no tenía ningún sentido para mí, pero ahora, he adquirido una mejor comprensión de estos conceptos, a pesar de que yo sé que tengo un largo camino por recorrer y yo creo que es probablemente el lugar en que está. En un par de años, los conceptos que parece extraño y extraño a nosotros ahora, le hará mucho más sentido para nosotros, entonces, en el cual se podría estar luchando con aún más complicado conceptos matemáticos. En cualquier caso, buena suerte y espero que todo esto ayudado!

Answer 3

La respuesta, como se puede adivinar, es la b). Pero aún así, el trabajo duro. Vale la pena! Sólo tengo muy intuición básica y sólo en la zona que me estoy empezando a especializarse en el, pero cada vez que voy a ganar un poco de conocimiento y sienten, la diversión y la adrenalina son la pena! Hacer un montón de problemas. Pida a cada una de las preguntas que usted tiene, varias veces, a varias personas. Compara tus ideas con los demás. ¿Por qué piensan de esa manera? Intente realmente saborear formas de pensar o de resultados de buscar inteligente. Guardar en la mental bolsillo - no en la memorización, pero al recordar cómo ven ellos en el primer lugar. Hay un millón de otros puntos de bala. Puedo seguir y seguir, con muchos ejemplos, como puedo tener esta conversación con los alumnos me enseñan cada semestre.

La matemática es difícil. Pero todos podemos hacerlo si queremos y si nos ponemos en Hercúleo esfuerzo, especialmente para mejorar nuestros puntos débiles.

Ahora, si me disculpáis, me voy a tratar de averiguar una pregunta muy básica de la teoría de números que yo ya debería de saber que hacer, sin embargo, han trabajado durante 14 horas a lo largo de los últimos cinco días, sin éxito. Estoy seguro de que cuando voy a resolver esto, me siento muy orgulloso, y se han ganado una cierta intuición en el proceso.

Answer 4

Todos estos temas pueden ser entendidos de manera intuitiva, no tienden a ser enseñado de forma intuitiva. Recuerdo cuando a partir de álgebra lineal, yo ya sabía lo que un vector es así que tiene sentido para mí, pero me da pena que alguien que estaba tratando de entender lo que un vector es a partir de los axiomas de un espacio vectorial, que eran lo que estaba escrito en la pizarra en frente de nosotros.

Sin duda los temas que usted menciona puede ser comprendido intuitivamente. Intuitivamente, un colector es un objeto de dimensión menor que el espacio es, por lo que un trozo de papel, por ejemplo, es un 2d colector en el espacio 3d, o una cadena es un colector de 1d. Intuitivamente, si la imagen de una matriz como la representación de una transformación del espacio, y aplicarlo a una unidad/círculo de la esfera, entonces se obtiene una elipse/elipsoide. Los vectores propios son los principales ejes de la elipse/elipsoide y los valores propios son las longitudes de los ejes. El Jacobiano sé menos, pero básicamente es la derivada, a excepción de algo que involucra muchas variables, por lo que tiene un montón de valores.

Hay algunos cínicos razones por las que no se explicó de manera intuitiva, incluyendo que a diferencia de los maestros en la escuela, los profesores no suelen allí principalmente para enseñar, y que es un curso de nivel superior para las expectativas y las exigencias son mayores. Pero una mejor razón es que el poder de las matemáticas viene de su habilidad para aplicar a muchas cosas más allá de donde fue descubierto por primera vez. Cualquier comprensión intuitiva de que algo está limitada a un dominio particular o aplicación, y si todo lo que te enseñan es que el dominio, entonces usted no apreciar o comprender la generalidad de la misma. Por supuesto, en la práctica, la enseñanza de algo en un contexto práctico la primera, a continuación, la generalización probablemente sería más eficaz.