Tengo una pregunta relacionada con dos teoremas muy importantes de la teoría de la elección social. ¿Cuál es la diferencia entre el teorema de Arrow y el teorema de Gibbard-Saterthwaite? Quiero decir, la obvia es que en el teorema de G-S tenemos un sistema de votación no manipulable (a prueba de estrategias) y no hay ninguna suposición al respecto en el teorema de Arrow. Entonces, ¿hay alguna otra diferencia?
Respuestas
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Jonathaniui
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La diferencia es que el teorema de Arrow dice que si quieres tener dos condiciones deseables en tu sistema de votación (unanimidad e independencia de alternativas irrelevantes) entonces necesariamente tu sistema de votación es una dictadura. Da consecuencias por tener propiedades "agradables". En este caso, si no quieres una dictadura, tienes que sacrificar una propiedad o relajar la noción de unanimidad o independencia de alternativas irrelevantes.
Por otro lado, el teorema de Gibbard-Sattertawhite dice que en cualquier sistema de votación sólo tienes tres opciones y que son mutuamente excluyentes. O se obtiene una dictadura, la elección es sólo entre dos opciones o el sistema de votación puede ser manipulado. Este teorema dice que si no quieres una de las opciones de la lista, entonces te quedan las otras dos opciones y sólo esas. Te da las alternativas que obtienes cuando rechazas una de las tres opciones.
Nótese que estos teoremas sólo se aplican a los sistemas de votación ordinal.
T. J. McIntee
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Ambos son teoremas generales de imposibilidad que pueden presentarse de la forma "Ningún sistema de votación cumple todos los criterios X". Están muy relacionados entre sí.
Si se lee el artículo de Satterthwaite de 1975, se verá hasta qué punto los dos teoremas están estrechamente relacionados: Satterthwaite demuestra específicamente que los sistemas de votación no manipulables cumplen cuatro de los criterios de Arrow y, por tanto, son dictaduras.
http://darp.lse.ac.uk/papersdb/satterthwaite_(jet75).pdf
Un criterio importante (y a veces ignorado) es que el sistema debe ser determinista. Un ejemplo de violación lleva a una importante y notable excepción que no es ni una dictadura tradicional ni un sistema manipulable: Si se selecciona una papeleta aleatoria después de emitir los votos, el sistema puede manejar más de 3 candidatos sin violar la manipulabilidad (o la monotonicidad + IIA).
Desde cierta perspectiva, el sistema de lotería utiliza un dictador elegido al azar.
El resultado de G-S es bastante general y se aplica a cualquier situación en la que los votantes tengan preferencias y múltiples opciones para emitir su voto; tanto si se trata de calificar o clasificar a los candidatos, hay situaciones en las que vale la pena saber cómo votan los demás.
Gibbard y Satterthwaite trabajaron de forma independiente y llegaron a lo que era esencialmente el mismo resultado. El trabajo de Gibbard se publicó en 1973; Satterthwaite llegó al mismo resultado en su disertación (terminada en 1973), pero tardó en publicar su resultado en una revista.
