Pregunta sobre la masa que cuelga del borde central de un disco giratorio

Question

Así, digamos que tenemos un disco que gira libremente, suponiendo que no hay pares externos, y tenemos un carrete, de radio 7,93 mm, unido a su centro.

Digamos que el carrete tiene una cuerda unida a un punto de su borde y la cuerda soporta una masa, 14,7 g.

Ahora se enrolla la cuerda alrededor del carrete y se deja caer la masa, acelerando con una aceleración lineal $a_l$ y haciendo que el disco gire con una aceleración angular de 0,66 rad/s.

¿Cómo se relaciona la aceleración angular del disco con la aceleración lineal de la masa? Y cómo podría utilizar la aceleración angular para encontrar la $a_l$ ? En otras palabras, mediante qué ecuación podría encontrar el $a_l$ de la aceleración angular del disco?

¿Tiene algo que ver con el hecho de que cada vez que el carrete gira una revolución, su posición ha cambiado en $2\pi r$ Por lo tanto, la cantidad de cuerda alimentada sería igual a $2\pi r$ ?

Si es así, ¿cómo puedo convertir esa información en una ecuación que relacione las dos aceleraciones?

Answer 1

Sabes que la longitud de la cuerda es constante, así que un pequeño cambio en el ángulo $\Delta\theta$ en la polea produce qué cambio de altura $y$ de la masa?

una vez que haya $\Delta y = K \Delta \theta$ se puede diferenciar dos veces para obtener

$$ \frac{{\rm d} y}{{\rm d}t} = K \frac{{\rm d} \theta}{{\rm d}t} \\ \frac{{\rm d}^2 y}{{\rm d}t^2} = K \frac{{\rm d}^2 \theta}{{\rm d}t^2} $$

ya que el coeficiente (engranaje) $K$ que se te ocurra es constante con el tiempo. Lo anterior es simplemente $a = K \alpha$ relacionando la aceleración lineal con la angular.