Estabilidad del diagrama de bifurcación

Question

Me pregunto cómo sabes qué ramas son estables. Por ejemplo, tomando $\alpha$ como parámetro de bifurcación $$y'=\frac{y(1500-y)}{3200}-\alpha.$$

Así que trazo $\alpha=\frac{y(1500-y)}{3200}$ y voltear los ejes para obtener

A partir de aquí no sé cómo calcular la estabilidad de las ramas. Sé que la rama inferior es la inestable, pero no estoy seguro del método por qué. Muchas gracias.

Answer 1

Se nos da:

$$y'=\dfrac{y(1500-y)}{3200}-\alpha$$

Primero queremos encontrar los puntos críticos de $y' = 0$ cediendo:

$$y' = \dfrac{y(1500-y)}{3200}-\alpha = 0 \rightarrow y_1 = 10 \left(75-\sqrt{5625-32 \alpha}~\right), y_2 = 10 \left(75 + \sqrt{5625-32 \alpha}~\right)$$

Entonces queremos evaluar el signo de la derivada de $f(y) = \dfrac{y(1500-y)}{3200}-\alpha$ en cada punto crítico. Lo tenemos:

$$f'(y) = \dfrac{750-y}{1600}$$

En el primer punto crítico, tenemos:

$$f'(y_1) = \dfrac{750-10 \left(75-\sqrt{5625-32 \alpha}~\right)}{1600}$$

Un gráfico de esto muestra:

Fíjate en que esto es siempre positivo (deberías poder demostrarlo), por lo tanto es un Fuente (inestable).

En el segundo punto crítico, tenemos:

$$f'(y_2) = \dfrac{750-10 \left(\sqrt{5625-32 \alpha}+75~\right)}{1600} $$

Un gráfico de esto muestra:

Fíjate en que esto es siempre negativo (deberías poder demostrarlo), por lo tanto es un Fregadero (estable).

También tenemos un punto común, el Nodo (ni estable ni inestable) en:

$$\alpha = \dfrac{5625}{32}, y = 750$$

Si dibujamos el diagrama de bifurcación (rojo = inestable, verde = estable, y el nodo en el que estos dos se cruzan como se ha descrito anteriormente), tenemos: