Es $Y$ necesariamente un subespacio de $V^n$ ?

Question

La pregunta es la siguiente:

Mi opinión sobre la respuesta es que sí.

Mi juicio de justificación es:

Sé que para $Y$ sea un subespacio de $V^n$ debe satisfacer que $\forall r \in F$ y $\forall u,v \in Y$ Debemos tener que $ru + v \in Y$ . Y estamos seguros de que esto es cierto porque todos los vectores en $Y$ son linealmente dependientes.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

$\newcommand{\o}{\mathbf 0}$ (Nota : $\dim V = \infty$ si $V$ es de dimensión infinita)

Pista 1 : Si $2 \leq n \leq \dim V$ , entonces dejemos que $\{e_1,...e_n\}$ sea un subconjunto linealmente independiente de $V$ . Considere $(\o,\o , ... , e_i, ...,\o) = f_i \in V^n$ , donde $\o$ denota el vector cero.

• ¿Son cada uno de los $f_i \in Y$ ? ¿Por qué/por qué no?

• Es $\sum_{i=1}^n f_i \in Y$ ? ¿Por qué/por qué no?

• ¿Puede concluir si $Y$ es un subespacio o no de lo anterior?

Pista 2 : Si $n > \dim V$ Entonces, ¿por qué $Y=V^n$ ?

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Creo que no ha entendido bien la pregunta.

Así que $V$ es un espacio vectorial. Quieres que asuma que es de dimensión finita, así que lo asumiré. Llamamos a los elementos de $V$ como vectores.

Ahora, ¿qué es $V^n$ ? Tenga en cuenta que $V^n$ es el conjunto de todos los $n$ -partidas de vectores en $V$ . Es decir, si digamos $v_1,v_2,...,v_n$ son vectores en $V$ entonces el elemento $(v_1,v_2,...,v_n)$ es un elemento de $V^n$ .

Por ejemplo, si $\o$ denota el vector cero en $V$ entonces $(\o,\o,...,\o)$ es un elemento de $V^n$ donde todos los $n$ las entradas son $\o$ .

Tenga en cuenta que $V^n$ es un espacio vectorial, bajo adición de componentes y multiplicación escalar. Además, no hay relación entre $n$ y la dimensión de $V$ por ahora.

¿Qué es? $Y$ ? $Y$ es un subconjunto de $V^n$ que se define de la siguiente manera: tome un elemento de $V^n$ . Como he mencionado antes, tiene $n$ entradas, que son todos vectores, digamos $v_1,...,v_n$ (no es necesario que sean distintos, recuérdalo).

Ahora, toma el conjunto ${v_1,...,v_n}$ . Esto es linealmente independiente o linealmente dependiente en $V$ . Si es lineal dependiente en $V$ entonces $(v_1,...,v_n) \in Y$ . De lo contrario, no pertenece a $Y$ .

Pongamos un ejemplo. ¿Es $(\o,\o,...,\o) \in Y$ ? Sí, porque los elementos son linealmente independientes : véase, necesitamos un distinto de cero combinación lineal de $\o,\o,...,\o$ sea cero. No cero significa que al menos uno de los coeficientes debe ser distinto de cero. Pero esto se puede hacer fácilmente, porque : $$ 1\o + 0\o + ... + 0\o = \o $$ que es una combinación lineal no nula de los elementos de la tupla e igual a cero. Por lo tanto, $(\o,\o,...,\o) \in Y$ .

Considere el elemento $(\o,v_2,...,v_n) \in V^n$ . Afirmo que está en $Y$ . ¿Por qué? Porque : $$ 1 \o + 0v_2+...+0v_n = \o $$ es una combinación lineal no nula de las entradas que es igual a cero. Por lo tanto , $(\o,v_2,...,v_n) \in Y$ para todas las opciones de $v_2,...,v_n$ .

A partir de aquí, deberías poder ver el siguiente lema :

Dejemos que $(v_1,v_2,...,v_n) \in V^n$ . Si al menos uno de los $v_i$ es el vector cero, entonces $(v_1,v_2,...,v_n) \in Y$ .

¿Por qué? Bueno, piensa en lo que hice cuando el cero estaba en la primera posición. ¿Qué combinación lineal no nula tomaría si el cero estuviera en la $i$ ¿puesto de trabajo, por ejemplo?

Con el lema en la mano, ahora tenemos que recordar un resultado común :

Dejemos que $W$ sea un subespacio de dimensión $m$ . Entonces, cualquier conjunto de $m+1$ o más elementos en $W$ es linealmente dependiente.

Ahora, dejemos que $n > \dim V$ . Entonces, cualquier elemento de $V^n$ contiene al menos $\dim V + 1$ entradas, por lo que deben ser linealmente dependientes. Es decir, $Y = V^n$ porque acabo de mostrar que cada elemento de $V^n$ debe estar en $Y$ . Así que, por supuesto, en este caso, $Y$ es un subespacio .

Por último, ¿qué ocurre cuando $2 \leq n \leq \dim V$ ? Pues bien, ahí tenemos el siguiente resultado :

Si $W$ es un espacio vectorial y $p \leq \dim W$ entonces existe un subconjunto $\{v_1,...,v_p\}$ de $W$ que es linealmente independiente .

Con esto reclamo $Y$ no es un subespacio . ¿Por qué? Demostraremos que $Y$ no es cerrado bajo adición : recordemos que cerrado bajo adición significa (o puede demostrarse que es equivalente a) que para cada $w_1,...,w_n \in Y$ tenemos que $w_1+...+w_n \in Y$ . Encontraremos vectores $w_1,...,w_n$ de manera que cada uno de ellos esté en $Y$ pero su suma no está en $Y$ .

Lo que hacemos para esto es utilizar el resultado común : ya que $n \leq \dim V$ obtenemos un conjunto $\{e_1,...,e_n\} \subset V$ que es linealmente independiente. Este conjunto tiene nada que ver con los vectores base estándar en $\mathbb R^n$ que también se suelen etiquetar $e_i$ .

Ahora, creamos los elementos $f_i\in V^n$ para $1 \leq i \leq n$ , de la siguiente manera : $f_i$ necesita tener $n$ entradas vectoriales. Tomemos todas las entradas excepto la $i$ Esta entrada es la siguiente $\o$ y el $i$ Esta entrada es la siguiente $e_i$ . En otras palabras, $f_i = (\o,\o,...,\o,\underbrace{e_i}_{\text{$ i $th entry}},\o,...,\o)$ . Convénzase de que $f_i$ es en realidad un elemento de $V^n$ y entonces, a partir del lema, un elemento de $Y$ .

Ahora, ¿qué es $\sum_{i=1}^n f_i$ ? La suma es por componentes, así que sumamos los primeros componentes del $f_i$ , entonces los segundos componentes de la $f_i$ y las respuestas correspondientes se convierten en los componentes de $\sum_{i=1}^n f_i$ que llamamos $f \in Y^n$ .

Por ejemplo, las primeras entradas del $f_i$ son todos $\o$ excepto el de $f_1$ cuya primera entrada es $e_1$ . La suma de todos ellos es $e_1+\o+\o+...+\o = e_1$ por lo que la primera entrada de $f$ es $e_1$ .

Del mismo modo, las segundas entradas del $f_i$ son todos $\o$ , esperar a que $f_2$ cuya primera entrada es $e_2$ . La suma de todos ellos es $\o+e_2+...+\o = e_2$ . Así, la segunda entrada de $f$ es $e_2$ .

Ahora, haz el resto y convéncete de que $f = (e_1,e_2,...,e_n)$ .

Pero entonces, cuando se toman las entradas de $f$ como un conjunto, usted obtiene $\{e_1,...,e_n\}$ que es linealmente independiente por suposición. Por lo tanto, $f \notin Y$ .

Lo que demuestra que $Y$ no es un subespacio.

(Nota : ¿Has visto donde he utilizado $n > 1$ ¿arriba? Fue crucial).