$(\sum_{k\in[\sqrt{n},n-\sqrt{n}]}1)$ se desvanece en $\frac{1}{n}(\sum_{k\in[\sqrt{n},n-\sqrt{n}]}1)(M+|\alpha|)$

Question

La siguiente derivación tuvo lugar en otro hilo.

$\Bigl|\frac{1}{n}\sum\limits_{k\in[\sqrt{n},n-\sqrt{n}]}a_kb_{n-k}-\alpha\beta\,\Bigr|\le\frac{1}{n}\,\Bigl(\sum\limits_{k\in[\sqrt{n},n-\sqrt{n}]}1\Bigr)(M+|\alpha|)\,\epsilon\le(M+|\alpha|)\,\epsilon$

Sin embargo, me cuesta entender cómo $\sum\limits_{k\in[\sqrt{n},n-\sqrt{n}]}1$ desaparece. Pensé que $n-\sqrt{n}-\sqrt{n}=n-2\sqrt{n}=1$ Pero no tengo ni idea de si este es el camino y si esta última igualdad es cierta.

Pregunta:

¿Podría alguien explicarme cómo $\sum\limits_{k\in[\sqrt{n},n-\sqrt{n}]}1$ ¿se desvanece?

Gracias de antemano.

Para evitar posibles dudas aquí está el enlace al otro hilo $\frac{a_0b_n+a_1b_{n-1}+...+a_nb_0}{n}$ converge a $\alpha\beta$

Answer 1

$$\frac1n\big(\sum_{k\in [\sqrt{n},n-\sqrt{n}]}1\big)\le \frac1n\big(\sum_{k=1}^n1\big)=\frac1n\cdot n=1,$$ así que $$\frac1n\big(\sum_{k\in [\sqrt{n},n-\sqrt{n}]}1\big)(M+|\alpha|)\epsilon \le (M+|\alpha|)\epsilon$$