$\liminf_{\epsilon\to 0} \frac{f(\epsilon)}{\epsilon}$ finito implica $\lim_{\epsilon \to 0} f(\epsilon)=0$

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función real no negativa.

Pregunta: ¿Es cierto que si $\liminf_{\epsilon\to 0} \frac{f(\epsilon)}{\epsilon}$ existe finito que necesariamente $\lim_{\epsilon \to 0} f(\epsilon)=0$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier $x_n \to 0$ ,

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x = x_n \\ \text{anything }\ge 0 &\text{otherwise}.\end{cases}$$

satisface

$$\liminf_{\epsilon \to 0} \frac{f(\epsilon)}{\epsilon} =0.$$