Convertir la sección de una ecuación en una curva de Bezier cúbica

Question

Tengo la ecuación $$f(x) = \frac{0.25x}{1.25 - x}$$ que me gustaría convertir en una curva de Bézier cúbica en la ventana $[0, 1]$ . He tratado de encontrar una respuesta pero sólo encuentro fuentes sobre cómo convertir una ecuación cuadrática en una curva de Bézier.

¿Es posible? Y si es así, ¿cómo puedo empezar?

Answer 1

La definición de una curva cúbica de Bézier requiere 4 puntos. Los puntos inicial y final y dos puntos de referencia adicionales. En general, la curva no pasa por los puntos de referencia. Así que, para responder a tu pregunta, no hay una forma única de "convertir" la gráfica de $f$ en una curva Bezier... Es necesario especificar dos puntos adicionales $(x_1,f(x_1)), (x_2, f(x_2))$ para algunos $0 < x_1 < x_2 < 1$ .

Considerando $P_0 ⁼(0,0)$ , $P_1=(\frac 13 f(\frac 13))$ , $P_2=(\frac 12, f(\frac 23))$ y $P_3=(1,1)$ la ecuación paramétrica de la curva de Bézier es

$$ (1-t)^3 P_0+ 3 (1-t)^2 t P_1 + 3(1-t) t^2 P_2+t^3P_3, \quad t \in [0,1] $$

o en este caso concreto, $$ \left\{ \begin{array}{l} x(t)=t^3+2 (1-t) t^2+\frac{1}{3} (1-t)^2 t\\ y(t)=t^3+\frac{6}{7} (1-t) t^2+\frac{1}{11} (1-t)^2 t \end{array} \right. $$

Esto se obtuvo con los puntos de referencia sobre la curva. También se puede ejecutar un procedimiento de optimización para obtener los puntos de referencia que minimicen la distancia entre la curva original y la cúbica de Bezier. En las siguientes imágenes se puede ver lo que se obtiene con el punto de referencia sobre la curva y colocado en otro lugar.

Answer 2

Observa la expresión algebraica explícita de la curva

$$B(t) = (1-t)^3{\bf P_0} + (1-t)^2t^1{\bf P_1} + (1-t)^1t^2{\bf P_2} + t^3{\bf P_3}$$

Y luego la muestra $x,y$ a lo largo de su curva $t \in [0,1]$ y simplemente establecer un sistema lineal de mínimos cuadrados y resolverlo.

Esto funcionará ya que $\bf P_0,P_1,P_2,P_3$ son desconocidos, y $(1-t)^{e_1}t^{e_2}$ es constante para cada punto de la muestra $t$ .

Como comprobación de cordura se puede comprobar que $\bf P_0, P_3$ debe estar cerca de los puntos finales, o se puede añadir esto como un coste de regularización, incluso.