Sea $s(n) = \text{la suma de los dígitos de $n$}$, aquí estoy interesado en un número $n>1$, tal que $n=s(n)^{s(n)}$. Con $1$ claramente obtenemos la solución trivial $1=1^1$. Ahora la gran pregunta: ¿existe un número mayor que $1$ con esta propiedad? Hice una pequeña observación:
- $1=1^1$ (solución trivial)
- $2\ne2^2$
- $3\ne3^3$
- $10\ne 1^1$
- $11\ne 2^2$
- $12\ne 3^3$
- $100\ne1^1$
- $199\ne19^{19}$
- $9999\ne36^{36}$
Como puedes ver, los números del lado derecho se vuelven muy grandes en comparación con los números del lado izquierdo si $n$ tiene dígitos grandes. Entonces creo que si un $n>1$ con esta propiedad existe, entonces $n$ debe ser un número (muy) grande y debe contener muchos ceros (¿o unos?) en sus dígitos. Entonces, ¿existe algún número $n>1$ con esta propiedad?
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Tomar el logaritmo de ambos lados. Acotar s(n) basado en el número de dígitos.
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Si existe un número así, entonces hay un número $s>1$, tal que la suma de dígitos de $s^s$ es igual a $s. En el rango [2,10^4], no existe tal $s.
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Es difícil acotar $s(n)$ porque para cualquier $n$ par muy grande estas desigualdades son estrictas: $n \geq s(n) \geq 1$.
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$\;\displaystyle n=s(n)^{s(n)}$ se puede resolver como $\;\displaystyle s(n)=e^{W(\ln(n))}\;$ usando $\,W(x\ln(x))=\ln(x)\,$ con $W$ la función LambertW y $x=s(n)$. Pero parece que insistes en que $s(n)$ sea un número entero así que...
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@Zubzub: ¿Cómo puede ser estricto $n\ge s(n)$ para $n\ge 10$?
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@celtschk Sí, tienes razón. Además, creo que el límite superior no es tan útil porque solo nos diría que busquemos algún $n$ mayor que una constante, que es un gran subconjunto de números :-P
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Si $s$ es una potencia de $10$, la suma de dígitos de $s^s$ es $1$. Si $s>10$ no es una potencia de $10$, parece que $\frac{sumadedígitos(s^s)}{s}$ siempre es mayor que $2$, excepto en el caso $s=2\cdot 10^k$, para el cual la fracción es aproximadamente $1.3$ y parece converger a algún número cercano a $1.35. Pero no tengo idea de cómo probar esto.
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Si reemplazas $s$ con la suma de dígitos en otra base, entonces hay casos donde tal número existe, por ejemplo en bases 3, 5 y 9.
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Para hacer que los números sean más manejables, creo que deberíamos considerar $s(n)=s\left(s(n)^{s(n)}\right)$
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Tuve Mathematica buscar números $x$ tales que $x=s(x^x)$ - lo cual es equivalente a tener $n=x^x$ sea una solución a tu problema. No encontró resultados para $s(n)\leq 10^4$ aparte de $x=1$.