El número de factores de $2^{15}\times3^{10}\times5^6$ que son cuadrados perfectos o cubos perfectos (o ambos)
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Newskooler
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Caso 1: factores que son cuadrados perfectos
\begin{align} A & =\{2^0,2^2,2^4,2^6,2^8,2^{10},2^{12},2^{14}\} \\ B & =\{3^0,3^2,3^4,3^6,3^8,3^{10}\} \\ C & =\{5^0,5^2,6^4,5^6\} \end{align}
Elija 1 de cada juego. Tenemos $8\times6\times4=192$ opciones.
Caso 2: factores que son cubos perfectos
\begin{align} A& =\{2^0,2^3,2^6,2^9,2^{12},2^{15}\} \\ B & =\{3^0,3^3,3^6,3^9\} \\ C & =\{5^0,5^3,5^6\} \end{align}
Elige 1 de cada juego. Tenemos $6\times4\times3=72$ opciones.
Por lo tanto, tenemos $72+192-3\times2\times2=252$ factores en total.
Nota: restar $3\times2\times2$ del total porque algunas sextas potencias se han contado dos veces.
ahorn
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Un cuadrado perfecto tendrá exponentes pares para cada término, y un cubo perfecto tendrá múltiplos de tres en los exponentes de cada término. Utilizando la fórmula de inclusión-exclusión, el número de factores que son cuadrados o cubos será el número de cuadrados más el número de cubos menos el número de factores que son tanto cuadrados como cubos (es decir, que tienen múltiplos de seis en los exponentes).
Los exponentes pares del primer término son $\{0,2,\dots,14\}$ Así que hay 8. Para el segundo y tercer término, hay 6 y 4 respectivamente. Por lo tanto, hay $8\times 6\times 4=192$ cuadrados.
Los exponentes que son múltiplos de 3 en el primer término son $\{0,3,\dots, 15\}$ , que son 6 exponentes posibles. Para el segundo y tercer término, hay 4 y 3 exponentes que son múltiplos de 3 respectivamente. Así que hay $6\times 4\times 3=72$ cubos posibles.
Para completar la pregunta, te dejo que restes el número de factores que tienen una raíz sexta (es decir, que tienen múltiplos de 6 en los exponentes). Restamos el número de factores que son a la vez cubos y cuadrados por el principio de inclusión-exclusión, que dice lo siguiente: Sea $A$ sea el conjunto de cuadrados y $B$ el conjunto de cubos. Entonces $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ .
Michael Hardy
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$2^2=4$ , $3^2=9$ y $5^2=25$ son los factores cuadrados irreducibles, es decir, no tienen factores cuadrados propios además de ellos mismos y del factor trivial $1$ . Usted tiene $$ (2^2)^7\times 2 \times(3^2)^5 \times (5^2)^3 = \underbrace{4^7\times 9^5\times 25^3}_\text{squares} \times \underbrace{ \qquad 2 \qquad}_\text{square-free part}. $$ Puedes contar los factores del cuadrado de la misma manera que cuentas todos los factores, simplemente tratando $4$ , $9$ y $25$ de la misma manera que tratas los factores primos cuando cuentas todos los factores.
mvw
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Un factor puede describirse mediante una tupla de exponentes $f \in \{ 0, \dotsc, 15 \} \times \{ 0, \dotsc, 10 \} \times \{ 0, \dotsc, 6 \} $ . Como $$ (2^{f_1} 3^{f_2} 5^{f_3})^{1/n} = 2^{f_1/n} \, 3^{f_2/n} \, 5^{f_3/n} $$ necesitamos $n$ para dividir los exponentes $f_i$ .
Los cuadrados perfectos ( $n=2$ ) se combinan a partir de $ S = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 \} \times \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \} \times \{ 0, 2, 4, 6 \} $ los cubos perfectos ( $n=3$ ) de $ C = \{ 0, 3, 6, 9, 12, 15 \} \times \{ 0, 3, 6, 9 \} \times \{ 0, 3, 6 \} $ . Entonces $S \cap C = \{ 0, 6, 12 \} \times \{ 0, 6 \} \times \{ 0, 6 \} $ . Esto da $$ \lvert S \rvert + \lvert C \rvert - \lvert S \cap C \rvert = 8 \cdot 6 \cdot 4 + 6 \cdot 4 \cdot 3 - 3 \cdot 2 \cdot 2 = 252 $$
