Variación del escalar de Ricci en la transformación conforme y el lagrangiano del campo escalar

Question

Estoy interesado en encontrar las restricciones de las constantes $p,\xi$ que aparece en una densidad lagrangiana de campo escalar acoplada conformemente al espaciotiempo. La transformación es $$ \tilde{g}_{\alpha\beta} = a^2 g_{\alpha\beta},\quad \tilde{\phi} = a^{2p} \phi $$ y debería mostrar que la densidad lagrangiana $$ \tilde{\mathscr{L}} = \frac{1}{2} \tilde{g}^{\alpha\beta} \partial_\alpha \tilde{\phi} \partial_\beta \tilde{\phi} - \xi \tilde{R} \tilde{\phi}^2 $$ es igual a $\mathscr{L}$ antes de la transformación, hasta una divergencia total.

La parte problemática es expresar el escalar de Ricci transformado $\tilde{R}$ en términos de $R$ antes de la transformación, y después de un día y muchos errores obtuve (en un $n$ -de las dimensiones) $$ \tilde{R} = a^{-2} R + a^{-3} ( 2 - n ) {\Gamma^\alpha}_{\beta\alpha} \partial^\beta a + 2 a^{-3} ( 1 - n ) \partial_\alpha \partial^\alpha a - a^{-4} ( n - 1 ) ( n - 4 ) \partial_\alpha a \partial^\alpha a $$ pero en primer lugar no estoy seguro del resultado, en segundo lugar no es nada fácil continuar y finalmente demostrar que $p$ debe ser igual a $(2-n)/2$ y $\xi$ a $(n-2)/(4(n-1))$ como se indica, por ejemplo, en "Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo" de Parker y Toms (pág. 44 en la edición de 2009).

¿Hay alguna forma clara de continuar y demostrar que $\tilde{\mathscr{L}}=\mathscr{L}$ con las condiciones indicadas anteriormente o hay alguna fuente disponible donde se muestre el cálculo completo?

Answer 1

La forma en que lo hice es considerando una transformación infinitesimal, así $a^2(x)=1+\lambda(x)$ con $|\lambda(x)|\ll1$ entonces

$$g_{\mu\nu}\to(1+\lambda)g_{\mu\nu}\\ \phi\to(1+p\lambda)\phi$$

En $n$ dimensiones del espacio-tiempo,

$$\sqrt{|g|}\to (1+\frac n2\lambda)\sqrt{|g|}\\ R_{\mu\nu}\to R_{\mu\nu}+\frac{1}{2}(n-2)\nabla_\mu(\partial_\nu \lambda)+\frac{1}{2}\nabla_\sigma(g_{\mu\nu}\partial^\sigma\lambda)\\ R\to(1-\lambda)R+(n-1)\square\lambda$$

Puede comprobar que si $p=(2-n)/4$ (está mal en el libro, se escribe como en Birrell y Davies, pero su transformación es diferente) y $\xi=(n-2)/[4(n-1)]$ la densidad lagrangiana cambia

$$\mathcal{L}\to\mathcal{L}-\partial_\mu\left(\frac{n-2}{8}\phi^2\sqrt{|g|}\partial^\mu\lambda\right)$$