Análisis real, Los límites de dos secuencias relacionadas

Question

Actualmente estoy trabajando en algunos de los ejercicios de "Understanding Analysis" de Abbot, y me he atascado en un ejercicio. El ejercicio es el siguiente:

Si $(x_{n})\rightarrow x$ , demuestran que $\sqrt{(x_{n})}\rightarrow \sqrt{x}$

Llevo un tiempo atascado en esto y agradecería algo de ayuda.

He intentado utilizar la definición de ese $x_{n}\rightarrow x$ , $\forall\epsilon >0\exists N\in\mathbb{N}: n\geq N\Rightarrow |x_{n}-x|<\epsilon$ pero no encuentro una forma adecuada de manipular esta expresión para obtener $|\sqrt{x_{n}}-\sqrt{x}|<\epsilon$

Gracias de antemano.

Answer 1

Una pista:

Demostrar (o afirmar) que

$$ \left|\sqrt{x} - \sqrt{y}\right| \leq \sqrt{\left|x - y\right|}. $$

Puede ser más fácil (más intuitivo) demostrar primero, para los positivos $a$ , $b$ ,

$$ a + b \leq (\sqrt a + \sqrt b)^2 $$ lo que implica $$ \sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b. $$

Answer 2

¿Qué tal un análisis no estándar? Dejemos que $H$ sea un infinito Hiperreal número. $x_H\approx x$ (lo que significa que están infinitamente cerca.) Ahora debemos demostrar que $\sqrt{x_H}\approx \sqrt x$ . Sabemos que $x-x_H \approx 0$ .

$$(x-x_h)^2\approx0$$ $$x^2-2x*x_H+x_h^2\approx0$$ $$x^2+2x*x_H+x_H^2\approx4x*x_H$$ $$x+x_H\approx2\sqrt{x*x_H}$$ $$x-2\sqrt{x}\sqrt{x_H}+x_H\approx0$$ y $$(\sqrt x-\sqrt{x_h})^2=x-2\sqrt{x}\sqrt{x_H}+x_H$$ $$(\sqrt{x}-\sqrt{x_h})^2\approx0$$ $$\sqrt x-\sqrt{x_H}\approx0$$ $$\sqrt x \approx \sqrt{x_H}$$ Fin de la prueba

Answer 3

Sugerencia :

Puede utilizar el hecho de que $$\sqrt x_n -\sqrt x = \frac{x_n-x}{\sqrt x_n +\sqrt x}.$$ Y aplica la lógica que has escrito en tu penúltima frase. Si necesitas más detalles, dímelo.