Considere el anillo $R = C([0,1])$ . Sea $c\in [0,1]$ y considerar el ideal $I_{c} = \{f \in R : f(c) = 0 \}$ . Quiero demostrar que este ideal no está generado finitamente. Estaba pensando que si $I_{c} = \langle \{f_{1},...,f_{n} \} \rangle$ Entonces podría considerar $R/I$ , ya que es un campo y tal vez derivar alguna contradicción, pero por lo demás estoy atascado.
Respuesta
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Supongamos que $I_c = \langle f_1, \ldots, f_n\rangle$ . Definir $f = \sum_{i} |f_i|$ . Claramente, $\sqrt f \in I_c$ . Así, $\sqrt f = \sum_i h_i f_i$ para algunos $h_i \in R$ . Definir $h = \sum_i |h_i|$ . Tenemos \begin{align*} \sqrt f &= \sum_i h_i f_i \\ &\le \sum_i |h_i| \cdot |f_i| \\ &\le \sum_i |h_i| \sum_i |f_i| \\ &= hf. \end{align*}
La última desigualdad se deriva de Cauchy-Schwarz.
Tenga en cuenta que para $x \ne c$ Debemos tener al menos una $i$ con $f_i(x) \ne 0$ desde $f_i$ generar $I_c$ . Así, $f(x) \gt 0$ para $x \ne c$ . De ello se desprende que $h \ge 1/\sqrt{f}$ para todos $x \ne c$ . Desde $f(c) = 0$ Esto implica que $h$ no tiene límites, pero esto contradice la compacidad de $[0, 1]$ .
(No me atribuyo el mérito de esta prueba. La encontré en mis notas. Creo que la vi por primera vez como un ejercicio de Atiyah-Macdonald o Dummit & Foote. No lo recuerdo).
