¿Existe algo llamado forma de ecleón de columna reducida?

Question

Hace poco hice una pregunta en la que no podía encontrar el rango de una matriz. La pregunta es :

Problema sobre la búsqueda del rango de una matriz que tiene una variable

En ese momento creí en la respuesta, y ahora al volver a ese problema me di cuenta de algo raro. Cómo funcionaba esta respuesta.

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La respuesta fue una continuación de donde he reducido la matriz por la forma de ecleón de fila reducida. Y la respuesta continúa como añadiendo columnas individuales a otra columna y con múltiplos escalares de una columna añadidos a otra (como hacemos para las filas en forma de echleon). Nunca he aprendido otra cosa que no sea la reducción de filas.

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No sé cómo se llama esto, pero ¿cómo es esto válido?

El sentido común me sugiere que no es válido. Incluso he intentado una búsqueda en Google sobre "Formulario de columna reducida de Echleon" y no ha aparecido nada. ¿Puede alguien decirme qué está pasando?

Y también cuál es el nombre ¿se le da a este proceso?

Answer 1

Supongo que se puede definir la forma escalonada de columna reducida como la forma escalonada de fila reducida de la transposición, pero no se utiliza mucho (si es que se utiliza).

El hecho es que el rango de una matriz es igual al rango de su transposición. Dado que las operaciones elementales de fila no cambian el rango, tampoco lo harán las operaciones elementales de columna, ya que se pueden considerar simplemente como operaciones de fila realizadas sobre la transposición. Esto significa que, al menos a efectos de encontrar el rango, eres libre de utilizar cualquier combinación de operaciones elementales de fila o columna a tu antojo.

Si no te gusta ver este proceso en términos de operaciones sobre las columnas, puedes pensar en ello como si tomaras la transposición de la matriz (que preserva el rango), realizando las operaciones elementales de fila necesarias, y luego transponiendo de nuevo.

Answer 2

Le pregunté esto mismo a mi profesora de Álgebra Lineal (cuya área de estudio es la abstracta y la lineal), y me dijo que los procesos funcionan casi idénticos, y que sólo es una convención hacer el escalón reducido de la fila, en lugar de la columna. Usted podría, aunque no es necesario para ver un $N \times M$ matriz como $M \times N$ y proceder a realizar las operaciones de la "columna".

Honestamente, cuando estaba aprendiendo LinAlg por primera vez, y me dijeron que encontrara algo leyendo columnas, usando la reducción de filas, simplemente reduje las columnas.

Answer 3

Depende de lo que quieras hacer.

Si se hacen estrictamente operaciones de fila, entonces se preserva el Núcleo (Espacio Nulo) y el Espacio de Fila (y por lo tanto el Rango).

Si se hacen estrictamente operaciones de columna, entonces se preserva el Cokernel (Espacio Nulo Izquierdo) y el Espacio de Columna (y por lo tanto el Rango).

Si se mezclan los tipos de operaciones (fila o columna), se sigue conservando el rango, ya que cualquiera de los dos tipos de operaciones conserva el rango, pero probablemente se perderán los Espacios Columna/Fila reales.

Si quieres resolver una ecuación de la forma Ax=b (donde A es una matriz y x,b son vectores columna), entonces debes hacer operaciones de fila en A. También puedes intercambiar las columnas, pero tienes que intercambiar las variables relacionadas en x, y no es realmente un beneficio importante.

Si quieres resolver una ecuación de la forma xA=b (donde A es una matriz y x,b son vectores de fila), entonces debes hacer operaciones de columna en A. También puedes intercambiar las filas, pero tienes que intercambiar las variables relacionadas en x, y no es realmente un beneficio importante.

"Forma escalonada de columna reducida" es un nombre bastante bueno para ello, aunque como no se enseña habitualmente, no puedo decir que sea oficial. Creo que la razón por la que se enseña rref en lugar de rcef es una consecuencia de que Ax=b es la notación más común, y de que los profesores no quieren perder tiempo o causar confusión enseñando exactamente las mismas técnicas por un tecnicismo.