¿Cómo debe la notación de Dirac ser entendido?

Question

Si los vectores $|\vec{r}⟩$ $|\vec{p}⟩$ se definen como

$$ \hat{\vec{r}} |\vec{r}⟩ = \vec{r} |\vec{r}⟩ \\ \hat{\vec{p}} |\vec{p}⟩ = \vec{p} |\vec{p}⟩ $$

a continuación, se puede ver que productos como

$$ ⟨\vec{r}|\vec{r}⟩ \\ ⟨\vec{p}|\vec{p}⟩ $$

no se estrechan, lo que significa que $|\vec{r}⟩$ $|\vec{p}⟩$ no pertenecen a un espacio de Hilbert como es necesario que $\int |\psi|^2 < \infty$. Entonces, ¿cómo debe uno entender estos objetos y lo que el espacio al que pertenecen?

Answer 1

Los físicos suelen generosamente relajar la condición de que la norma debe ser finito, y que a veces dicen que $|\vec r\rangle,|\vec p\rangle$ pertenecen al "espacio de Hilbert". Es exactamente el mismo "generoso" un lenguaje que permite a los físicos dicen que $\delta(x)$ es una "función", el delta-función, aunque sus valores en torno a $x=0$ son infinitos o "mal definidos", así que no es realmente una función.

Rigurosamente matemáticamente, los objetos que no pertenecen al espacio de Hilbert (porque su norma no es finito), pero (en analogía con el concepto de "distribuciones" que incluyen "funciones" como $\delta(x)$), existe un concepto matemático que incluye no normalizable vectores, el amañado espacio de Hilbert.

https://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space

La idea es que uno puede definir un subespacio $\Phi$ del espacio de Hilbert que contiene lo suficientemente suave funciones. El espacio dual del espacio de Hilbert $H$ $H$ sí. Pero la doble espacio para el subespacio $\Phi$ $\Phi^*$ que es, por el contrario, mayor que el de $H$, y es esta $\Phi^*$ que es llamado el amañado espacio de Hilbert y que contiene objetos como $|\vec r\rangle$. Formalmente matemáticamente, todo el triplete $(\Phi^*,H,\Phi)$ es usualmente referido como "el amañado espacio de Hilbert".

Answer 2

Sólo añadir a lo que se ha dicho y para abordar el comentario de @LightnessRacesinOrbit, usted puede, de hecho, tiene muy buenas funciones que sólo están definidas en algún subconjunto de los números reales. La razón por la delta de Dirac no es una función que no es que es el único bien definido para algunos de los números reales y otros no; de hecho, no está definido como una función en cualquier lugar! En su lugar se define como una especie de "hipotético" de la función, se $\delta(x)$, que, si existiera, podría satisfacer la propiedad de que cuando se la integra en contra de los otros (lo suficientemente agradable) la función $f(x)$, se obtiene

$\int_{\mathbb{R}} \delta (x) f(x) \, dx = f(0) $.

No hay una función definida por el que realmente no esta, pero no están bien definidas las funciones que vienen tan cerca como usted desee: por ejemplo, las funciones que podemos llamar la $\varphi_\varepsilon$ que son igual a cero en todas partes, excepto en un pequeño intervalo de $(-\varepsilon, \varepsilon)$ alrededor de cero, y son iguales a$\frac{1}{2\varepsilon}$$x \in (-\varepsilon, \varepsilon)$. Observe que si $f(x)$ es suave, entonces

$\int_{\mathbb{R}} \varphi_\varepsilon (x) f(x) \, dx \approx f(0) $.

De modo que podemos obtener cerca de tener una función que se comporta de la manera en que queremos una delta de Dirac, pero no del todo (que la igualdad sólo es aproximada, debido a que $f(x)$ puede variar en el intervalo de $(-\epsilon,\epsilon)$). En lugar de una función, la delta de Dirac es realmente un operador lineal que tiene una función suave y te da el valor de la función en $x=0$. Notationally aún podemos pretender que hay una "función" $\delta(x)$ que encarna esta operación cuando se integra otras funciones en su contra, sino más bien es un elemento de la llamada "doble espacio" para el espacio de las funciones lisas que son cero fuera de un intervalo acotado, es decir, es un elemento del espacio de los operadores lineales en tales funciones (como un tecnicismo: tenga en cuenta que es un operador lineal continuo con respecto a la norma uniforme en suave funciones de soporte compacto).