¿Los enteros de Cartan se conservan por isomorfismo?

Question

Suponga que tiene dos sistemas de raíces $\Phi\subset E$ y $\Phi'\subset E'$ con bases de raíces simples $(\alpha_1,\dots,\alpha_\ell)$ y $(\alpha_1',\dots,\alpha_\ell')$ tal que los enteros de Cartan $\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle=\langle\alpha_i',\alpha_j'\rangle$ para todos $i,j$ entonces el isomorfismo $\phi$ definido por $\alpha_i\mapsto\alpha_i'$ preserva los enteros de Cartan para cualquier raíz. Es decir, si $\alpha,\beta\in\Phi$ entonces $\langle\alpha,\beta\rangle=\langle\phi(\alpha),\phi(\beta)\rangle$ .

Todas las fuentes que he leído dicen que esto se deduce fácilmente de la fórmula de una reflexión, mirándola, si $\sigma_{\phi(\alpha)}$ es la reflexión sobre la raíz $\phi(\alpha)$ , $$ \sigma_{\phi(\alpha)}(\phi(\beta))=\phi(\beta)-\langle\phi(\beta),\phi(\alpha)\rangle\phi(\alpha) $$ pero qué más se puede hacer para ver $\langle\alpha,\beta\rangle=\langle\phi(\alpha),\phi(\beta)\rangle$ ?

Answer 1

En primer lugar, dejemos que $\beta$ sea cualquier raíz, y $\alpha$ sea una raíz simple en $\Phi$ . Escribir $\beta=\sum_{i=1}^\ell c_i\alpha_i$ , tenga en cuenta que $$ \langle\phi(\beta),\phi(\alpha)\rangle=\sum_{i=1}^\ell c_i\langle\phi(\alpha_i),\phi(\alpha)\rangle=\sum_{i=1}^\ell c_i\langle\alpha_i,\alpha\rangle=\langle\beta,\alpha\rangle $$ donde hemos utilizado el hecho de que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es al menos lineal en la primera coordenada, y la segunda igualdad se deduce por hipótesis.

Ahora bien, si $\alpha$ es cualquier raíz, $\alpha=\sigma\alpha_i$ para alguna raíz simple $\alpha_i$ y $\sigma\in W$ ya que toda raíz es conjugada a una raíz simple bajo la acción del grupo de Weyl $W$ . Así que $$ \phi(\alpha)=\phi\sigma\alpha_i=(\phi\sigma\phi^{-1})(\phi\alpha_i) $$ y $\phi\sigma\phi^{-1}\in W'$ el grupo de Weyl de $E'$ . Entonces $$ \begin{align*} \langle\phi(\beta),\phi(\alpha)\rangle &=\langle \phi(\beta),\phi\sigma\phi^{-1}\phi\alpha_i\rangle\\ &= \langle\phi\sigma^{-1}\beta,\phi\alpha_i\rangle\\ &=\langle \sigma^{-1}\beta,\alpha_i\rangle\\ &=\langle\beta,\sigma\alpha_i\rangle\\ &= \langle\beta,\alpha\rangle. \end{align*} $$

Aquí la tercera igualdad se desprende de la discusión anterior, y la segunda y cuarta igualdad se desprenden de aplicar las inversas de los elementos del grupo de Weyl a ambas coordenadas, lo que no cambia el valor.