Demuestra que $\{x_1x_2 + x_2x_3+ x_3x_4 =c\}$ es un submanifold de $\mathbb R^4$ y es difeomorfo a $\mathbb R^2 \times \mathbb S^1$

Question

Dejemos que $c \neq 0$ sea un número real. Definimos $M_c$ como $$M_c = \{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb R^4|x_1x_2 + x_2x_3+ x_3x_4 =c \}.$$

(1) Mostrar $M_c$ es un submanifold de $\mathbb R^4$ .

(2) Mostrar $M_c$ es un difeomorfismo a $\mathbb R^2 \times \mathbb S^1$ .

Mi planteamiento (no puedo resolver ninguno de los dos):

(1) Considero que $f:\mathbb R^4 \to \mathbb R$ , $f(x_1,x_2,x_3,x_4)= x_1x_2 + x_2x_3+ x_3x_4$ . También $df = (x_2,x_1+x_3,x_2+x_4,x_3)$ .

(2) He intentado construir un mapa suave a partir de $M_c$ à $\mathbb R^2 \times \mathbb S^1$ y la función inversa de la misma. Pero no puedo.

[Editado]

Desde el enfoque de Mike F, $M_c$ es difeomorfo al grupo lineal especial $SL(2,R)$ . En general, $SL(n,R) \simeq SO(n,R) \times R^{(n+2)(n-1)/2}$ y $SO(2,R) \simeq S^1$ . Por lo tanto, $M_c \simeq SL(2,R) \simeq S^1 \times R^2$ .

Answer 1

He aquí una sugerencia, aunque quizás no sea el enfoque más eficaz. Definir nuevas coordenadas \begin{align*} y_1 = x_1 + x_3 && y_2 = \frac{1}{c} x_2 && y_3 = -x_3 && y_4=\frac{1}{c} x_4 \end{align*} Nótese que este cambio de coordenadas está mediado por una matriz invertible de 4 por 4. En el nuevo sistema de coordenadas, la ecuación considerada se convierte en $$y_1 y_2 - y_3y_4 = 1$$ Así, el problema equivale a demostrar que el conjunto de matrices $\begin{bmatrix} y_1 & y_3 \\ y_4 & y_2\end{bmatrix}$ cuyo determinante es $1$ es un submanifold del espacio de todas las matrices de 2 por 2 que además es difeomorfo a $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1$ . En mi opinión, esta forma traducida del problema es un mejor uso de su tiempo.