Cálculo del anillo de invariantes para la acción de $\mathbb C^*$ en $\mathbb C^2\setminus \{0\}$

Question

Dejemos que $\mathbb{C}^*=\mathbb C\setminus\{0\}$ actuar $\mathbb C^2\setminus \{0\}$ por multiplicación escalar, donde $\mathbb C^2=\operatorname{Spec}(\mathbb C[x_0,x_1])$ . Entonces $\mathbb C^2\setminus \{0\}=U_0\cup U_1$ , donde $$U_0=\mathbb C^2\setminus \mathcal{Z}(x_0)=\operatorname{Spec}(\mathbb C[x_0^{\pm1},x_1])$$ $$U_1=\mathbb C^2\setminus \mathcal{Z}(x_1)=\operatorname{Spec}(\mathbb C[x_0,x_1^{\pm1}])$$ $$U_0\cap U_1=\mathbb C^2\setminus \mathcal{Z}(x_0x_1)=\operatorname{Spec}(\mathbb C[x_0^{\pm1},x_1^{\pm1}])$$

Claramente, $U_0$ , $U_1$ y $U_0\cap U_1$ son invariantes bajo la $\mathbb C^*$ acción. Así que hay una acción inducida de $\mathbb C^*$ en sus respectivos anillos.

Necesito ayuda para encontrar los anillos de invariantes - $\mathbb C[x_0^{\pm1},x_1]^{\mathbb C^*}$ $\mathbb C[x_0,x_1^{\pm1}]^{\mathbb C^*}$ y $\mathbb C[x_0^{\pm1},x_1^{\pm1}]^{\mathbb C^*}$

Definición : Si $G$ actúa sobre una variedad afín $X=\operatorname{Spec} R$ de manera que cada $g\in G$ define un morfismo $\phi_g:X\rightarrow X$ dado por $\phi_g(x)=g\cdot x$ entonces $\phi_g$ proviene de un mapa $\phi_g^*:R\rightarrow R$ . Definimos la acción inducida de $G$ en $R$ por $$g\cdot f=\phi_{g^{-1}}^{*}(f)$$ para $f\in R$ . En otras palabras, $g\cdot f(x)=f(g^{-1}\cdot x)$ para todos $x\in X$

Definimos el anillo de invariantes $R^G=\{f\in R:g\cdot f=f \text{ for all }g\in G\}$

Mi intento :

$\mathbb C[x_0^{\pm1},x_1]^{\mathbb C^*}=\left\{\dfrac{f(x_0,x_1)}{x_0^n} \in \mathbb C[x_0^{\pm1},x_1]: g\cdot\dfrac{f(a_0,a_1)}{a_0^n}=\dfrac{f(g^{-1}a_0,g^{-1}a_1)}{(g^{-1}a_0)^n}=\dfrac{f(a_0,a_1)}{a_0^n}\right\}$ para todos $g\in\mathbb C^*$ y $(a_0,a_1)\in U_0$

Así que se supone que debo encontrar todos los polinomios $f$ tal que $f(g^{-1}a_0,g^{-1}a_1)=(g^{-1})^nf(a_0,a_1)$ para todos $g\in\mathbb C^*$ y $(a_0,a_1)\in U_0$ . No tengo ni idea de cómo proceder a partir de aquí. ¿Es correcto lo que he hecho hasta ahora?

Gracias.

Answer 1

Veamos sólo $\mathbb{C}[x,y,x^{-1}]$ (He escrito $x,y$ en lugar de $x_0,x_1$ para facilitar la escritura). Cualquier elemento puede escribirse como $f=\sum a_{ij} x^iy^j$ una suma finita, con $i,j\in\mathbb{Z}, j\geq 0, a_{ij}\in\mathbb{C}$ . Para $g\in\mathbb{C}^*$ tenemos $gf=\sum a_{ij} g^{i+j} x^iy^j$ . Por lo tanto, si queremos $gf=f$ para todos $g\in\mathbb{C}^*$ vemos que $a_{ij}$ debe ser cero si $i+j\neq 0$ . Así, vemos que $f$ es un invariante si y sólo si $f=\sum_{i+j=0} a_{ij}x^iy^j$ o en otras palabras, $f\in\mathbb{C}[\frac{y}{x}]$ . Se pueden esgrimir argumentos similares para los otros anillos en cuestión.