Coordenadas elípticas - Inversión de la transformación

Question

La forma estándar de transformar las coordenadas elípticas $(\mu, \nu)$ $\ to$ Coordenadas cartesianas $(x,y)$ :

$x = a \cosh(\mu) \cos(\nu)$

$y = a \sinh(\mu) \sin(\nu)$

¿Hay alguna manera de conseguir la transformación $(x,y)$ à $(\mu,\nu)$ ? Es decir, ¿hay alguna manera de encontrar:

$\mu = f(x,y)$

$\nu = g(x,y)$

Supongo que implicaría $\sinh^{-1}$ y $\cosh^{-1}$ Si es que es posible hacerlo.

Answer 1

Según este la forma compleja del sistema es $x+iy=\cosh(\mu+i\nu).$ Para mí fue una sorpresa pero se comprueba fácilmente usando las definiciones de sinh, cosh, y las propiedades even/impar de seno y coseno. En un libro de referencia de fórmulas encontré que $$\cosh^{-1}(z)=\ln(z+\sqrt{z^2-1})=i \arccos z.$$ No soy lo suficientemente experto como para decir algo sobre la elección de la rama del tronco para el tronco o la arcocosa aquí.

Nota: Hay que utilizar el hecho de que $\cosh z=\cosh -z$ cuando se invierte a través de $\cosh^{-1}$ para asegurar la relación $\mu \ge 0$ en la transformación. Dado $z$ si se deja como $x+iy,$ La extracción de la raíz cuadrada dentro del registro es, como mínimo, complicada.