Relación entre hojas de mundo y líneas de mundo

Question

Si queremos encontrar el propagador de, por ejemplo, una partícula de espín cero, la inversa formal puede calcularse introduciendo $$-i\int_{0}^{\infty}e^{i(p^2 - m^2)s}\mathrm{d}s$$ También podemos reescribir esto en forma de integral de trayectoria. ¿Se ha generalizado de alguna manera mediante la introducción de una acción de hoja de mundo? Si es así, ¿existe un análogo del formalismo del tiempo propio de Schwinger en la teoría de cuerdas?

Answer 1

Existe un formalismo de hoja de mundo que generaliza el formalismo de línea de mundo. En este formalismo, en los diagramas de Feynman:

1. La integración sobre la coordenada del cono de luz $p_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}(p_0 - p_3)$ se negocia mediante una integración en $x^{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^0 + x^3)$ mediante una transformada de Fourier.

2. Entonces, la integración en el cono de luz $p_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(p_0 + p_3)$ y $x^{+} $ coordenadas se separa de la otra integración en los diagramas de Feynman y se trata como una integración sobre una hoja de mundo. Véanse los siguientes trabajos de Thorn y Bardakci primero y segundo y sus referencias.

La idea puede ilustrarse en un propagador escalar sin masa , cuya expresión en las coordenadas mixtas del cono de luz viene dada por: $$\Delta(\mathbf{p}, p_{+}, x^{+}) = \langle \phi(\mathbb{p}, p_{+}, x^{+}) ) \phi(0)\rangle = \int \frac{dp_{-}}{2 \pi i } e^{-i p_{-}x^{+}} \frac{1}{p^2-i \epsilon} = \frac{\theta(x^{+})}{2 p_{-}} e^{\frac{x^{+} \mathbf{p}^2}{2 p_{+}}}$$ donde $\mathbf{p}$ es el vector del resto de coordenadas (de dimensión $d-2$ donde $d$ es la dimensión del espacio-tiempo).

Bardakci y Thorn encontraron una representación integral de la trayectoria de la hoja del mundo de la cuerda del propagador anterior como: $$\Delta(\mathbf{p}, p_{+}, x^{+}) = \int \mathcal{Dc}\mathcal{Dc}\mathcal{Dq} e^{-S}$$ con $$ S = \int_0^{x^{+}} \int_0^{p_{+}} d\sigma \left ( \frac{1}{2}\mathbb{q}'^2 - b'c' \right)$$ Donde $\mathbf{q}$ es un $d-2$ vector dimensional y $b$ y $c$ son vectores de Grasmann de la mitad de la dimensión de $\mathbf{q}$ . La condición de contorno para $b$ y $c$ son $0$ en todos los límites de la hoja del mundo y para $\mathbf{q}$ tenemos

$$\mathbb{q}(p_{+}, \tau) - \mathbb{q}(0, \tau) = \mathbf{p}$$

La técnica anterior puede aplicarse mediante la inserción de las expresiones anteriores para los propagadores en los diagramas de Feynman y utilizar las expresiones del cono de luz para los vértices.

Este formalismo es útil para tratar con teorías de Yang-Mills con un gran número de colores, donde la contribución semiclásica de las integrales de la lámina del mundo domina, porque el número de colores aparecerá multiplicativamente en las acciones de la lámina del mundo.

Este formalismo es una realización de la idea de 't Hooft sobre el dominio de los diagramas planares en el límite de color grande y proporciona en principio un método para sumar estos diagramas.