Derivación del valor exacto de $\sin \pi/12$ utilizando la identidad de doble ángulo

Question

Derivar el valor exacto de $\sin \pi/12$ utilizando la identidad de doble ángulo

Identidad de doble ángulo - $\sin 2A = 2\sin A \cos A$

Así que, $\sin (2 \frac{\pi}{12}) = 2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} $

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 $ Así que.., $\cos \frac{\pi}{12} = \sqrt{1- \sin^2 \frac{\pi}{12}}$

$\sin (2 \frac{\pi}{12}) =2 \sin \frac{\pi}{12}\sqrt{1- \sin^2 \frac{\pi}{12}} $

Elevo al cuadrado ambos lados de la ecuación para obtener:

$(1/2)^2 = 4 \sin^2 \frac{\pi}{12} (1- \sin^2 \frac{\pi}{12})$

Con esto, me alejo de encontrar el valor exacto de $\sin \pi/12$ que es $\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

Answer 1

Dejemos que $x := \sin^2\frac{\pi}{12}$ . Entonces su última igualdad es $$\frac{1}{4} = 4x(1-x) = 4x - 4x^2.$$ Las soluciones de esta ecuación cuadrática son $x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{4}$ . Claramente, $x$ es menor que $\frac{1}{2}$ , por lo que debemos tener $x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$ . Tomando la raíz cuadrada se obtiene $$\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}.$$ Ahora bien, como $(\sqrt{3}-1)^2 = 4 - 2\sqrt{3} = 2(2 - \sqrt{3})$ obtenemos $$\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$$ como se esperaba.

Answer 2

A La doble identidad que te lleva más directamente (quizás no la que estás usando) es $$\cos2x=1-2\sin^2x.$$ Cuando $x=\pi/12$ tenemos \begin{align}\cos\frac\pi6&=1-2\sin^2\frac\pi{12}\\ 2\sin^2\frac\pi{12}&=1-\frac{\sqrt3}2\\ \sin^2\frac\pi{12}&=\frac12-\frac{\sqrt3}4=\frac{2-\sqrt3}4\\ \sin\frac\pi{12}&=\pm\sqrt{\frac{2-\sqrt3}4}=\pm\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}2=\pm\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}. \end{align} Desde $\frac\pi{12}\in(0,\frac\pi2)$ podemos rechazar la respuesta negativa, dejándonos con $$\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$$ como se desee.