prueba sencilla $f(z) = \arcsin(\frac{2z}{(1+z^2)}) + 2\arctan(z)$

Question

$f(z) = \arcsin(\frac{2z}{(1+z^2)}) + 2\arctan(z)$ Así que lo que tengo que hacer es mostrar que $f(2019) = \pi$ .

Así que lo que he intentado es calcular $f(0), f(1)$ y ver algún tipo de conexión (o relación de recurrencia), para poder calcular fácilmente $f(2019)$ pero no pude encontrar ninguno.

¿Algún consejo?

Answer 1

sugerencia Para $z>1$ ,

$$f'(z)=$$ $$\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2z}{1+z^2})^2}}\frac{2(1+z^2)-4z^2}{(1+z^2)^2}+\frac{2}{1+z^2}=0$$

así $f$ es constante en $[1,+\infty)$ y

$$f(2019)=\lim_{z\to+\infty}f(z)=0+2\frac{\pi}{2}=\pi$$

o $$f(2019)=f(1)=$$ $$\arcsin(1)+2\arctan(1)=\pi$$

Answer 2

Empieza escribiendo

$$z=tan(\theta)$$

Así, para el bronceado $(\theta)=2019$ , $\theta$ estará en algún punto intermedio $\pi /4$ y $\pi/2$ .

Ahora el segundo término se convertirá en

$$=2arctan(tan(\theta))=2\theta$$

Esto se permite como $\theta$ está dentro del rango de arctan $(x)$

Ahora tomando el primer término

$$=arcsin\left(\frac{2tan(\theta)}{1+tan^2(\theta)}\right)$$ $$=arcsin\left(2sin(\theta)cos(\theta)\right)=arcsin\left(sin(2\theta)\right)$$

Desde $\pi/4\lt\theta \lt \pi/2$ ,

$\pi/2\lt2\theta \lt \pi$

Esto cae fuera del rango de arcsin $(x)$

Ahora por simetría alrededor de $\pi/2$ se puede ver que para que vuelva a estar dentro del rango, para tal $x$ utilizamos $\pi - x$

Por lo tanto,

$$arcsin\left(sin(2\theta)\right)=\pi - 2\theta$$

Sumando los términos primero y segundo

$$=\pi - 2\theta + 2\theta = \pi$$

Adjunto un enlace para más explicación $\arcsin(\sin x)$ ¿explicación?