Introducción al análisis: Convexidad

Question

Un amigo y yo estábamos tratando de resolver este problema de nuestra tarea.

Demostrar que en una $I$ una función geométricamente convexa $f(x)$ es continua.

Para ayudar mejor a la audiencia, es mejor que les dé la definición de una función geométricamente convexa del libro "Introducción al análisis", de Arthur Mattuck.

Dejemos que $f(x)$ se define en cualquier tipo de intervalo I. Para cualquier subintervalo $[a,b] \subset I$ dejamos que $P:(a,f(a))$ y $Q:(b,f(b))$ sean los dos puntos de la gráfica que se encuentran sobre los puntos finales del intervalo. Decimos que $f(x)$ es geométricamente convexo en $I$ si la gráfica de f(x) se encuentra sobre o debajo de la cuerda PQ, para todo $[a,b]\subset I$ Una formulación analítica equivalente es $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq\frac{f(b)-f(x)}{b-x}$ para todos $a<x<b$ en $I.$

¿Cómo podríamos abordar este problema? Me imagino que una forma de abordarlo sería mostrar $\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow0^-}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$ existe en cada punto de $I$ y de alguna manera deducir $\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow0^-}\bigtriangleup y=0$ . ¿Es esto correcto? Si es así, ¿cómo debo proceder?

Answer 1

Dado cualquier punto $b$ en $I$ , elija un punto $x_0<b$ en $I$ . Elija $x_1$ como el punto medio de $x_0$ y $b$ Así que $\frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0} \le \frac{f(b)-f(x_1)}{b-x_1}$ por convexidad geométrica. Elija $x_2$ como el punto medio de $x_1$ y $b$ y así sucesivamente. Entonces obtenemos una secuencia creciente $\{\frac{f(b)-f(x_n)}{b-x_n} \}$ es decir $\{ \frac{\Delta y_n}{\Delta x_n}\}$ .

La secuencia está acotada por encima. En caso contrario, elija un punto $c>b$ en $I$ (abierto), y hay un punto $x_n<b$ tal que la pendiente de $x_nb >$ pendiente de $x_nc$ , contradiciendo a la geométrica convexa.

Así que la secuencia tiene un límite, es decir $\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ existe. Así que, $$\lim_{\Delta x\to 0^-}\Delta y =\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x=\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot \lim_{\Delta x \to 0^-}=0.$$

Puede demostrar que $\lim_{\Delta x\to 0^+}\Delta y=0$ por el mismo camino.

Answer 2

Si $f$ es convexa entonces es diferenciable a la derecha y a la izquierda en cualquier punto interior, por tanto continua en todo el conjunto abierto.

Sólo hay que utilizar la desigualdad escrita en el post del OP notando que el primer término es creciente con $x$ y está acotada por encima del segundo término, por lo que converge cuando $x \to a^-$ Por lo tanto $f$ es diferenciable a la izquierda de $a$ . Lo mismo para la derecha.