Ondas planas en la relatividad especial

Question

No entiendo cómo puede haber ondas planas que por definición se extienden por todo el espacio si nada puede viajar más rápido que la luz. ¿No tendría que propagarse cada onda a lo largo del tiempo como máximo con la velocidad de la luz? Podría entenderlo cuando sólo aparecen en las matemáticas de cálculo de ondas, pero ¿no es común hablar de luz o fotones en términos de ondas planas?

Answer 1

Las ondas planas son totalmente compatibles con la relatividad especial, ya que son objetos invariantes de Lorentz: $$\psi_k(x) = e^{i px/\hbar} = e^{i(Et-\vec{p}\cdot\vec{x})/\hbar}$$

Parece que te preocupa el hecho de que las ondas planas se extiendan por todo el espacio. Pero de hecho, se extienden a través de todo espacio-tiempo ¡! Son perfectamente periódicas tanto en el espacio como en el tiempo, por lo que no hay un comienzo ni un final. La fase de la onda hace se propagan con la velocidad de fase, que siempre es igual o menor que $c$ .

Aparte de la cuestión de la compatibilidad con la relatividad especial, está la cuestión del significado físico de las ondas planas. Las ondas físicas hacer tienen un principio y un final, y son producidos por alguna fuente finita. Por tanto, tienen una extensión temporal limitada y una simetría espacial diferente (normalmente, simetría esférica), y no son ondas planas sino paquetes de ondas. No obstante, cualquier puede escribirse como una suma de ondas planas de forma invariante de Lorentz $$\psi(x) = \sum_k a_k \psi_k(x) = \sum_k a_k e^{ipx/\hbar}$$ y la mayoría de las ondas pueden ser aproximadas por ondas planas alejadas de su fuente.

Answer 2

Las otras respuestas que dicen que las verdaderas ondas planas no existen y son idealizaciones matemáticas son perfectamente ciertas, pero ciertamente se pueden tener ondas lo suficientemente cercanas al plano en la realidad como para dar lugar al "problema" al que aludes.

Aquí es donde nos encontramos con una sutileza a la tan citada, pero algo machacada afirmación de que nada puede viajar más rápido que la luz . La afirmación correcta es no hay relación de causalidad del evento $A$ al evento $B$ puede estar fuera $A$ El futuro cono de luz de la empresa , a menudo se dice que ninguna señal puede propagarse más rápido que $c$ . La afirmación del puré no es categóricamente cierta, como creo que acabas de descubrir.

Como has observado, si uno coloca una pantalla casi transversalmente a una onda plana, y, si la onda plana es, digamos, un potente pulso de femtosegundos, verás su estrecha (por eso elijo "pulso de femtosegundos") intersección con la pantalla desplazarse a través de ella a una velocidad muy alta, arbitrariamente alta si eliges el ángulo correcto. En particular, la intersección, una línea brillante, se puede ver barriendo a través de la pantalla a más de $c$ . Esta situación no contradice el postulado de no señalización supraluminal de la relatividad especial, porque hay no hay relación de causalidad entre puntos del frente de onda; tienen un antecedente causal común, a saber, la fuente de luz ( Por ejemplo podrías estar viendo una onda esférica a gran distancia de su fuente efectivamente puntual), pero los vínculos causales entre la fuente y cada punto por separado son rayos luminosos a través del espaciotiempo. No causal enlace en esta imagen es uno supraluminal. En efecto, un observador que se mueva lo suficientemente rápido (pero a menos de la velocidad $c$ ) a lo largo de la pantalla verá que la intersección se desplaza a lo largo de la pantalla en la dirección opuesta. Incluso pueden elegir una velocidad para ver toda la pantalla iluminada a la vez. Aquí vemos la relatividad de la simultaneidad en juego. El escenario de la luz en la pantalla con el movimiento del pulso de luz dependiente del observador es también una variación del fenómeno de Aberración estelar .

Digo más sobre la relatividad especial, la causalidad y la prohibición postulada de la señalización más rápida que la luz en mis respuestas ici y ici .

Veamos ejemplos similares para intentar consolidar estas ideas.

Mi figura anterior muestra dos versiones de un "Ola de fútbol" perturbación de la onda metacrónica, ambas se propagan al mismo, mayor que $c$ velocidad: el conjunto de eventos $a,\,b,\,c,\,\cdots$ y $\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\cdots$ . Lo primero se ajusta perfectamente al principio de causalidad, lo segundo no. En el primer caso, un preprogramador visita las posiciones del $x$ eje uno tras otro, dejando instrucciones a los protagonistas en estas posiciones para que realicen un movimiento ondulatorio con los brazos en un momento futuro acordado. Estos actos de "preprogramación" son los eventos $A,\,B,\,C,\,\cdots$ . Los tiempos mutuamente acordados organizan los movimientos del cuerpo de cada protagonista (los eventos $a,\,b,\,c,\,\cdots$ ) en una sucesión muy rápida entre sí, engendrando un patrón de onda metacronal que viaja a una velocidad superior a la $c$ de nuestro marco. Sin embargo, no hay directo vínculos causales $a\rightarrow b,\,b\rightarrow c,\,\cdots$ , por lo que cuando un observador con movimiento relativamente uniforme ve la secuencia $\cdots,\,c,\,b,\,a$ invertido en su orden temporal, no hay contradicción: todos los causal enlaces en todo el gráfico $\{A,\,B,\,C,\,\cdots\}\cup\{a,\,b,\,c,\,\cdots\}$ se encuentran dentro de los conos de luz futuros de sus precursores y siguen haciéndolo incluso después de cualquier transformación de Lorentz. Sin embargo, la secuencia de eventos $\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\cdots$ con supuestos vínculos causales directos entre ellos ( es decir la propagación de la señal "whisper down the lane" que gobierna la mayor parte del movimiento metacrónico natural) viola la causalidad junto con el postulado de la relatividad de Galileo porque algunos observadores inerciales verán que estos eventos ocurren en orden temporal inverso. Argumentos muy parecidos demuestran que el movimiento de un punto de puntero láser a través de Por ejemplo la superficie de la Luna cuando el origen del láser está en la Tierra, girando en un plano a una velocidad angular superior a aproximadamente $45^\circ$ por segundo, de modo que el punto barre la Luna a una velocidad superior a $300\,000{\rm km\,s^{-1}}$ también se ajusta al principio de causalidad. Como el punto se mueve a una velocidad mayor que $c$ Se ve que se mueve en el frente a dirección por parte de algunos observadores inerciales, hecho que no es un problema porque no hay una relación causal directa entre las posiciones de reflexión vecinas en la Luna, como para los eventos $a,\,b,\,c,\,\cdots$ en la figura. Así pues, podemos ver ciertamente secuencias de acontecimientos ("efectos" que se propagan) en la Naturaleza que viajan a mayor velocidad que $c_I$ Es simplemente que tal observación descarta las relaciones causales directas entre eventos vecinos en tal secuencia. Sin embargo, como hemos visto con la Onda Mexicana por Arreglo Previo, tal secuencia no descarta una relación causal entre los precursores o antecedentes causales de tal secuencia. Los antecedentes causales $A,\,B,\,C,\,\cdots$ de $a,\,b,\,c,\,\cdots$ están relacionados causalmente, aunque no exista una relación causal directa entre los miembros de esta última secuencia, que por lo tanto puede verse evolucionando a una velocidad mayor que $c_I$ sin violar el principio de causalidad. Así, la observación de una secuencia que se mueve a una velocidad superior a la de la luz no no descartar todo relaciones entre los miembros de la secuencia, sólo las causales directas. Cualquier observador inercial, al observar una onda mexicana que se mueve más rápido que $c$ , podría hacer la hipótesis nula de que el movimiento se debe a saltos aleatorios estadísticamente independientes realizados por cada uno de los mexicanos. Sin embargo, si hay $N$ ondas, entonces la probabilidad de verlas ondear en orden sólo por azar es $2/(N!)$ Por lo tanto, uno se ve obligado a rechazar la hipótesis nula en casi cualquier significación estadística razonable para incluso un puñado de vacilantes. La observación nos dice que algo entre ellos, aunque no sea causal (como cualquier otra correlación estadística no causal).

Answer 3

Las ondas planas no son reales, son sólo un recurso matemático.

En la mecánica cuántica, las partículas están representadas por paquetes de ondas, que no tienen una amplitud infinita y permiten que un conjunto de ondas planas se agrupe interfiriendo constructivamente dentro de un área determinada y destructivamente fuera de ella.

De Wikipedia Paquetes de ondas

En física, un paquete de ondas (o tren de ondas) es una breve "ráfaga" o "envoltura" de acción ondulatoria localizada que viaja como una unidad. Un paquete de ondas puede analizarse o sintetizarse a partir de un conjunto infinito de ondas sinusoidales de diferentes números de onda, con fases y amplitudes tales que sólo interfieren de forma constructiva en una pequeña región del espacio y de forma destructiva en el resto. Dependiendo de la ecuación de onda, el perfil del paquete de ondas puede permanecer constante (sin dispersión, véase la figura) o puede cambiar (dispersión) mientras se propaga.