¿Por qué sólo los efectos de bucle son correcciones cuánticas cuando la teoría completa es cuántica?

Question

Los diagramas de Feynman con uno o más bucles en una QFT interactiva son la representación diagramática de las correcciones a las funciones de Green y a las amplitudes más allá del orden más bajo en la teoría de perturbaciones (llamado nivel de árbol). Si lo deseo, puedo trabajar penosamente con series de perturbación y no utilizar nunca diagramas de Feynman. Así que para mí la configuración completa es cuántica y los bucles son sólo efectos de orden superior en lugar de correcciones cuánticas a algo clásico.

¿No está claro por qué sólo los efectos de bucle son correcciones cuánticas cuando la teoría completa es cuántica?

Answer 1

Estoy en parte en desacuerdo con la respuesta aceptada. La expansión en forma de bucle es la misma que la $\hbar$ expansión y el orden más bajo de la misma, es decir, el nivel de árbol, corresponde a $\hbar^0$ que significa clásico.

La cuestión es que los propagadores tienen factores de $\hbar$ también, y si uno los cuenta correctamente el resultado es el que yo afirmaba. He aquí una prueba: el número de bucles en un diagrama es $$ L = I - V + 1\,, $$ llamando a $I$ los bordes internos. La función de partición en la formulación de la integral de la trayectoria es la siguiente $$ Z[J] = \int \mathcal{D}\phi\,e^{\frac{i}\hbar (S + \int J\phi)}\,. $$ Suponiendo que $S = \tfrac12\int \phi \,G^{-1} \,\phi + \lambda S_I(\phi)$ , donde $G$ es el propagador, se tiene $$ Z[J] = \exp\left(\frac{\lambda i}{\hbar} \,S_I\!\left(-i\hbar\frac{\delta}{\delta J}\right)\right)\exp\left(-\frac{i}{2\hbar} \int J(x) G(x,y)J(y) \right)\,. $$ Cada término de la expansión de la primera exponencial corresponde a un determinado número de vértices (que vienen con un $\hbar^{-1}$ ) y cada derivada con respecto a $J$ es un propagador (que viene con $\hbar$ ). Así que uno tiene $$ Z[J] = \frac{1}{\hbar}\sum_{\mathrm{Diagrams}}(\mbox{Diagram with $ I $ edges and $ V $ vertices}) \,\hbar^{I-V + 1}\,, $$ es decir $$ Z[J] = \frac{1}{\hbar}\sum_{\mathrm{Diagrams}}(\mbox{Diagram with $ L $ loops}) \,\hbar^{L}\,. $$ El $1/\hbar$ es global y tiene que ser descontado cuando se compara con la respuesta clásica.

Nótese que también existe una interpretación en términos de la aproximación WKB (o semiclásica). Es decir, una expansión sistemática en potencias de $1/\hbar$ y en el orden más bajo corresponde a tomar el valor de silla de la acción cuántica. El valor de la silla de montar es la solución de las ecuaciones clásicas del movimiento.

Answer 2

Sí, en cierto sentido tienes razón, pero depende de lo que estés calculando. En una teoría interactiva, ya se pueden tener interacciones cuánticas a nivel de árbol. Consideremos, por ejemplo, la dispersión Compton. Aquí se empieza con un fotón y un electrón y se termina con un fotón y un electrón. En medio, uno tendría diagramas de nivel de árbol que implican interacciones. Cada vértice está representado por una barra h, que suele estar asociada a un proceso cuántico. En órdenes superiores, también se obtienen bucles, que entonces se denominan "correcciones cuánticas". Pero esto no significa que sólo las correcciones sean "cuánticas" en este caso.

Por otro lado, si se calcula la función de dos puntos (función de Green), entonces, a nivel de árbol, no hay interacciones. Consideremos, por ejemplo, el caso en el que se tiene un fotón al principio y un fotón al final. Esto es equivalente a la teoría clásica y, por tanto, no representa la teoría cuántica a nivel de árbol. Cuando se pasa a órdenes superiores en este caso, se obtienen las correcciones cuánticas, porque estos diagramas de autoenergía, incluirían los vértices asociados a las interacciones cuánticas.

Espero que esto aclare un poco las cosas.