Así que tengo esta función a trozos $f(x,y)=-xy/(x^2+y^2)$ y en (0,0) $f(x,y) = 0$ Es evidente que esta función no es continua ni diferenciable en $(0,0)$ (ya que el límite no existe la prueba de los dos caminos lo demuestra ). Sin embargo, cuando se me pide que tome la derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ (WRT), quiere que lo evalúe en $(0,0)$ . Sin embargo, esta derivada parcial es indefinida en $0,0)$ . El método correcto me pide que utilice la definición de límite de una derivada parcial para evaluarla. ¿Por qué podemos utilizar la definición de límite de la derivada parcial para evaluar la derivada parcial si la derivada parcial de $f$ WRT x en $(0,0)$ nos da la división por $0$ ? ¿Significa esto que si su función no es continua en un punto, la derivada de la función todavía puede ser evaluada en ese punto? Además, ¿cómo se vería esto visualmente? Gracias.
Respuestas
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La fórmula $$ f'_x=\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{x^2 y - y^3}{(x^2+y^2)^2} $$ sólo es válido para $(x,y) \neq (0,0)$ ya que no toma el valor $f(0,0)=0$ en cuenta en absoluto.
Por lo tanto, el hecho de que esta fórmula dé un valor indefinido cuando se intenta enchufar $(x,y)=(0,0)$ no tiene nada que ver con el hecho separado de que $f'_x(0,0)$ existe y es igual a cero (ya que $f(x,0)$ es una función constante - es cero para todo $x$ , incluyendo $x=0$ ).
$\lim_{a\to 0} \frac a a $ existe y es igual a $1$ . No se puede poner $a=0$ y decir que el límite es indefinido alegando que implica la división por $0$ . Cuando se toma el límite como $ a\to 0$ se supone que hay que considerar los valores de $a$ cerca de $0$ pero no $0$ mismo. Como $\frac a a=1$ para $a \neq 0$ el límite es $1$ .
Espero que esto aclare su confusión.
