En el producto de tres objetos de una categoría

Question

Supongamos que $X,Y,Z$ son objetos de la categoría $C$. Demuestra que si existe $X\times(Y\times Z)$ y existe $X \times Y$, entonces también existe $(X \times Y) \times Z$.

Simplemente no veo la conexión entre ellos. Agradecería si alguien proporcionara algunas pistas. Gracias.

Answer 1

Supongamos que existe $X\times(Y\times Z)$. Eso significa que hay un objeto etiquetado de esa manera, con mapas $\pi_X,\pi_{Y\times Z}$ desde el objeto a $X$ y $Y\times Z$ (que por lo tanto también debe existir), de tal forma que para cualquier objeto $\mathcal{O}$, si tienes flechas $f\colon \mathcal{O}\to X$ y $g\colon\mathcal{O}\to Y\times Z$, entonces existe una flecha única $(f\times g)\colon \mathcal{O}\to X\times (Y\times Z)$ tal que $\pi_X\circ(f\times g) = f$ y $\pi_{Y\times Z}\circ(f\times g) = g$.

Ahora nota que $g$ es equivalente a un par de mapas $(g_Y,g_Z)$ desde $\mathcal{O}$ a $Y$ y $Z$, por la propiedad universal de $Y\times Z$. Así que, para cada triple de flechas, $(f,g_Y,g_Z)$, con $f\colon\mathcal{O}\to X$, $g_Y\colon\mathcal{O}\to Y$ y $g_Z\colon \mathcal{O}\to Z$, existe un único mapa $\mathcal{F}\colon\mathcal{O}\to X\times(Y\times Z)$ con $\pi_X\circ \mathcal{F}=f$, $\pi_Y\circ\pi_{Y\times Z}\circ \mathcal{F} = g_Y$ y $\pi_Z\circ\pi_{Y\times Z}\circ\mathcal{F} = g_Z$.

Ahora, queremos mostrar que existe un objeto $P$, junto con mapas $p_{X\times Y}\colon P\to X\times Y$ y $p_Z\colon P\to Z$ tal que para cualquier objeto $Q$ y cualquier mapa $f\colon Q\to X\times Y$ (que es equivalente a un par de mapas $f_X\colon Q\to X$ y $f_Y\colon Q\to Y$) y $g\colon Q\to Z$, existe un único mapa $\mathcal{G}\colon Q\to P$ tal que $\pi_{X\times Y}\circ\mathcal{G}=f$ y $pi_{Z}\circ\mathcal{G}=g$.

Parece que hay una elección obvia, así que debería ser cuestión de verificarla...

Nota: También tendrás que verificar si existe algo llamado “$X\times Y$”...