¿Cuál es la covarianza cuando se conoce la covarianza con una variable común?

Question

Digamos que sabes que ${\rm var}\Bigg( \begin{bmatrix} {\bf x}_1 \\ {\bf x}_2 \end{bmatrix}\Bigg) = {\bf \Sigma} = \begin{bmatrix} {\bf \Sigma}_{11} & {\bf \Sigma}_{12}\\ {\bf \Sigma}_{21} & {\bf \Sigma}_{22} \end{bmatrix}$ y que ${\rm var}\Bigg( \begin{bmatrix} {\bf x}_2 \\ {\bf x}_3 \end{bmatrix}\Bigg) = {\bf \Sigma}$ también. Entonces, ¿cuál es la covarianza cruzada ${\rm cov}({\bf x}_1, {\bf x}_3)$ ?

Puede asumir todos los ${\bf x}_i$ se distribuyen normalmente y que ${\bf \Sigma}$ es una matriz de Toeplitz, si eso es útil.

Llevo días dándole vueltas a esto, he escrito un programa en python que parece confirmar que siempre es un valor concreto, pero no consigo encontrar una fórmula.

Edición: parece que falta una ecuación. En mi programa, también asumo que $f({\bf x}_3 | {\bf x}_1, {\bf x}_2) = f({\bf x}_3 | {\bf x}_2)$ . ¿Esa restricción adicional da una solución única?

Answer 1

Es una pregunta interesante, pero no hay una respuesta única. La única restricción en $\Lambda=\text{cov}(\mathbf{x_1},\mathbf{x_2})$ es que la matriz $$\left(\begin{matrix}\Sigma_{11} &\Sigma_{12} &\Lambda\\ \Sigma_{12}^T &\Sigma_{11} &\Sigma_{12}\\ \Lambda^T &\Sigma_{12}^T &\Sigma_{11} \end{matrix}\right)$$ es positiva definida.

Nota: $\Sigma_{22}=\Sigma_{11}$ necesariamente.