Una cosa que he notado sobre las EDP es que provienen de la Física Matemática en general. Casi todas las ecuaciones que veo en Wikipedia seguir este patrón. No puedo evitar preguntarme si hay EDP que surjan "naturalmente" en las matemáticas "puras" como la Geometría, la Topología, etc. Por supuesto, siempre puedo escribir una superficie arbitraria como una o más EDP, pero no parece que impulsen mucha investigación en el tema, según parece. Entiendo que las EDP se originaron en la física, pero ¿no ha crecido el tema desde los modelos físicos hacia ejemplos más abstractos?
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¿Demasiados anuncios?
rck
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Algunos ejemplos más de geometría y topología:
El Teorema del índice de Atiyah-Singer conecta el análisis de los operadores diferenciales elípticos, con la topología de las variedades lisas compactas. Hay muchos enfoques para demostrar el Teorema del Índice, pero hay uno en particular que lo hace mediante el estudio de la ecuación del calor en la variedad compacta .
En las variedades riemannianas no compactas, un estructura geométrica uniforme en el infinito tiene profundas conexiones con el espectro del laplaciano (conforme) asociado, lo que conduce a profundas conexiones con las propiedades de dispersión de las ecuaciones de onda que evolucionan en tales variedades.
La topología de las variedades cuatridimensionales está relacionada con sus geometrías que se manifiestan en la teoría de Yang-Mills, que da lugar a ecuaciones diferenciales parciales elípticas no lineales muy interesantes. Hay un buen libro sobre todo este campo .
El estudio de los sistemas sobredeterminados de ecuaciones diferenciales parciales ( como este ) puede remontar una parte no insignificante de sus raíces al programa de E. Cartan para entender la geometría diferencial utilizando el método de los marcos móviles.
Por otro lado, las EDP pueden dar lugar a problemas interesantes en otros campos. Por ejemplo, la solución fundamental de una ecuación diferencial parcial hiperbólica lineal de coeficiente constante tiene profundas conexiones con la topología y la geometría de las variedades algebraicas . Y el llamado principio de Huygen fuerte para la ecuación de onda está estrechamente relacionado con el geometría de los espacios homogéneos .
Creo que uno de los ejemplos puede ser Flujo de Ricci que son EDP parabólicas que describen la deformación de la métrica para la variedad de Riemann. El nuevo resultado es, por ejemplo, la solución de La conjetura de gometrización de Thurston que Perelman hizo utilizando el flujo de Ricci.
En general, como has mencionado, muchas EDP aparecen desde la ciencia aplicada: física, finanzas, etc. aunque no estoy seguro de que PDEs relacionados con los procesos de Markov aparecieron sólo después de las consideraciones de los problemas aplicados.
Por último, existe una teoría de Funciones armónicas que se basa en la EDP de Laplace $\Delta u = 0$ . Estas funciones son generalizaciones de las funciones lineales en la recta real para el caso multidimensional y heredan muchas de las buenas propiedades de las funciones lineales de 1 dimensión. Aunque esta ecuación surgió del problema físico, también ha sido importante para las necesidades de la matemática pura.
Macarse
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No olvides el ecuación de superficie mínima una de las muchas EDP que surgen en la geometría diferencial, como alude Zhen Lin. En su Introducción completa a la geometría diferencial Spivak incluye un capítulo sobre las EDP bajo el título Y ahora un breve mensaje de nuestro patrocinador - una buena manera de resaltar las numerosas interacciones entre los dos sujetos.
FasterEd
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Conjetura de Calabi afirmaron que en una variedad compacta de Kähler existe una única métrica de Kähler con una forma de Ricci prescrita. Este problema puede reformularse en términos de una EDP (no lineal) y ha sido resuelto por Shing-Tung Yau, quien efectivamente construyó una solución para esta EDP (la unicidad fue resuelta antes por el propio Calabi).
Drealmer
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Las EDP lineales naturales que surgen en situaciones físicas también surgen en contextos de "matemáticas puras", por razones similares, a saber, el cálculo/análisis con restricciones de simetría. En mi propia experiencia directa:
La teoría espectral de las formas automórficas, en los ejemplos más simples/pequeños ejemplificados en los "Métodos espectrales..." de Iwaniec, y ciertamente en los espacios de rango uno, caracteriza las formas/funciones automórficas como esencialmente funciones propias para un operador de Laplace-Beltrami adecuado (invariante). Las propiedades de regularidad de los operadores elípticos se utilizan casi sin mencionarlas. Las soluciones fundamentales, o funciones de Green, desempeñan los papeles esperados de análisis geométrico en las estimaciones básicas sobre formas automórficas.
La(s) "fórmula(s) de la traza" de Selberg y otros pueden verse como estudios de la traza del resolvente de este operador de Laplace-Beltrami en subespacios adecuados de $L^2$ .
Las ideas del núcleo térmico han sido utilizadas por muchas personas para demostrar resultados esenciales (Mueller sobre la clase de traza del espectro discreto, los proyectos de Lang-Jorgensen, etc.)
Las ideas de la teoría de la dispersión y la ecuación de onda fueron utilizadas por Fadeev y sus colaboradores, por Lax-Phillips y otros, para estudiar las series de Eisenstein y el espectro continuo.
Por lo demás, la EDP lineal clásica sobre espacios euclidianos, la de Laplace, la del calor, la ecuación de ondas, o la de productos de círculos, o sobre esferas, me parece un análisis primordial de la geometría euclidiana, independientemente de que uno se interese o no por la física o la mecánica. Al fin y al cabo, sospecho que los aspectos de todas estas cosas que ponemos en estas categorías son sustancialmente manifestaciones de las percepciones humanas y de la psicología, más que algo llamado innatamente "física o mecánica", en contraposición a las "matemáticas puras".
