¿los subfuncionarios cerrados son complementarios a los subfuncionarios abiertos?

Question

Pido disculpas si la siguiente pregunta ya ha sido formulada y resuelta. No he podido encontrar ningún hilo.

Di, $\mathcal{C} = (Sch/k)$ la categoría de esquemas sobre $k$ (un campo). Sea $\mathcal{F} \in \mathcal{C}^{\wedge}$ sea un objeto de $\mathcal{C}^{\wedge}$ - la categoría de funtores contravariantes de $\mathcal{C}$ a $(Sets)$ . Se tiene el conjunto de puntos:

$$ |\mathcal{F}| := \lim_{\to} \mathcal{F} (K), $$

el límite tomado sobre los campos $K/k$ . Dado un subfuntor $\mathcal{G} \hookrightarrow \mathcal{F}$ se obtiene un subconjunto $|\mathcal{G}| \subset |\mathcal{F}|$ (es decir, un canónico mapa de $|\mathcal{G}| \to |\mathcal{F}|$ que es inyectiva). En particular, $|\mathcal{U}|$ para los subfuncionarios abiertos $\mathcal{U} \hookrightarrow \mathcal{F}$ forman una topología en $|\mathcal{F}|$ .

Pregunta: Dado un subconjunto cerrado $Z \subset |\mathcal{F}|$ ¿existe un subfunctor cerrado (posiblemente no único) $\mathcal{Z} \hookrightarrow \mathcal{F}$ para que $Z = |\mathcal{Z}|$ (como subconjuntos de $|\mathcal{F}|$ )?

En cierto sentido, son subfunciones abiertas y subfunciones cerradas ¿realmente "complementario"?

Answer 1

Se pregunta si para cada subfunctor abierto $U \to F$ existe un subfuntor cerrado $Z \to G$ tal que $|F|$ es la unión disjunta de $|U|$ y $|Z|$ . La respuesta es sí.

Por cada $A$ -punto valorado $a \in F(A)$ el retroceso $U \times_F \text{Spec}(A)$ es un subfuntor abierto de $\text{Spec}(A)$ . Por tanto, existe un único ideal reducido $I \subseteq A$ tal que $U \times_F \text{Spec}(A) = \text{Spec}(A)_I$ . La unicidad implica que estos ideales son compatibles cuando variamos $a$ es decir, obtenemos un ideal cuasi-coherente $I \subseteq \mathcal{O}_F$ . Ahora $\text{Spec}(\mathcal{O}_F / I) \to F$ es el subfuntor cerrado deseado.

Answer 2

Hay una formulación precisa de este hecho en la obra de Toen curso magistral sobre pilas aunque no se da una prueba:

En primer lugar, definimos el subfuntor complementario de una inmersión cerrada $Y\hookrightarrow X$ para ser un subfunctor particular $X - Y\hookrightarrow X$ que a su vez se demuestra que es una inmersión abierta (véase el ejemplo 4 de la sección 4 del Curso 4). Se observa entonces (sin prueba) en la proposición 1 de la sección 1 del Curso 4.5 que para toda inmersión abierta $U\hookrightarrow X$ existe una inmersión cerrada $V\hookrightarrow X$ tal que $U\cong X - V$ que, si no recuerdo mal, no es única (aunque creo que existe una inmersión cerrada universal (inicial o terminal) de este tipo (este objeto universal es análogo a la estructura de subesquema cerrado "reducido inducido" en un subconjunto cerrado de un esquema).