Processing math: 100%

1 votos

Resolución de ecuaciones integrales mediante convolución y transformada de Fourier.

Así que tengo la ecuación integral :

ππf(t)f(xt)dt=cos(x).

Sé que debo utilizar la transformada de Fourier o la transformada de Laplace y utilizar el teorema de convolución, pero no sé exactamente cómo.

f(x) también debe ser 2π periódico.

2voto

Ron Gordon Puntos 96158

Si la función f es periódica, entonces está claro que podemos escribir f en términos de su serie de Fourier:

f(t)=a02+k=1(akcoskt+bksinkt)

Ahora, el lado derecho es simplemente proporcional a cosx . Por la ortogonalidad del seno y el coseno, todo lo que tenemos que preocuparnos entonces son las k=1 términos.

Si se conecta, se encuentra que la integral es igual a

ππdt(a1cost+b1sint)(a1cos(xt)+b1sin(xt))

que el lector puede verificar es, de nuevo utilizando la ortogonalidad para facilitar la vida,

(a21b21)πcosx+2a1b1πsinx

Esta expresión debe ser idéntica a cosx . Esto significa que a1b1=0 Así que, o bien a1 o b1 es cero. Pero si b1 fuera cero, la expresión en el LHS debe ser positiva, lo cual es falso. Por lo tanto, a1=0 y por lo tanto,

f(t)=±1πsint

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X