Así que tengo la ecuación integral :
∫π−πf(t)f(x−t)dt=−cos(x).
Sé que debo utilizar la transformada de Fourier o la transformada de Laplace y utilizar el teorema de convolución, pero no sé exactamente cómo.
f(x) también debe ser 2π periódico.
Así que tengo la ecuación integral :
∫π−πf(t)f(x−t)dt=−cos(x).
Sé que debo utilizar la transformada de Fourier o la transformada de Laplace y utilizar el teorema de convolución, pero no sé exactamente cómo.
f(x) también debe ser 2π periódico.
Si la función f es periódica, entonces está claro que podemos escribir f en términos de su serie de Fourier:
f(t)=a02+∞∑k=1(akcoskt+bksinkt)
Ahora, el lado derecho es simplemente proporcional a cosx . Por la ortogonalidad del seno y el coseno, todo lo que tenemos que preocuparnos entonces son las k=1 términos.
Si se conecta, se encuentra que la integral es igual a
∫π−πdt(a1cost+b1sint)(a1cos(x−t)+b1sin(x−t))
que el lector puede verificar es, de nuevo utilizando la ortogonalidad para facilitar la vida,
(a21−b21)πcosx+2a1b1πsinx
Esta expresión debe ser idéntica a −cosx . Esto significa que a1b1=0 Así que, o bien a1 o b1 es cero. Pero si b1 fuera cero, la expresión en el LHS debe ser positiva, lo cual es falso. Por lo tanto, a1=0 y por lo tanto,
f(t)=±1√πsint
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.