Resolución de ecuaciones integrales mediante convolución y transformada de Fourier.

Question

Así que tengo la ecuación integral :

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(t)f(x-t) dt = -\cos (x).$$

Sé que debo utilizar la transformada de Fourier o la transformada de Laplace y utilizar el teorema de convolución, pero no sé exactamente cómo.

$f(x)$ también debe ser $2\pi$ periódico.

Answer 1

Si la función $f$ es periódica, entonces está claro que podemos escribir $f$ en términos de su serie de Fourier:

$$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left (a_k \cos{k t} + b_k \sin{k t} \right ) $$

Ahora, el lado derecho es simplemente proporcional a $\cos{x}$ . Por la ortogonalidad del seno y el coseno, todo lo que tenemos que preocuparnos entonces son las $k=1$ términos.

Si se conecta, se encuentra que la integral es igual a

$$\int_{-\pi}^{\pi} dt \left (a_1 \cos{t} + b_1 \sin{t} \right ) \left (a_1 \cos{(x-t)} + b_1 \sin{(x-t)} \right )$$

que el lector puede verificar es, de nuevo utilizando la ortogonalidad para facilitar la vida,

$$(a_1^2-b_1^2) \pi \cos{x} + 2 a_1 b_1 \pi \sin{x} $$

Esta expresión debe ser idéntica a $-\cos{x}$ . Esto significa que $a_1 b_1=0$ Así que, o bien $a_1$ o $b_1$ es cero. Pero si $b_1$ fuera cero, la expresión en el LHS debe ser positiva, lo cual es falso. Por lo tanto, $a_1=0$ y por lo tanto,

$$f(t) = \pm \frac1{\sqrt{\pi}} \sin{t}$$