Es $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{nx^2}{n^3+x^3}$ uniformemente continua en $[0,\infty)$ ?

Question

La semana pasada tuve la tarea de mostrar $f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{nx^2}{n^3+x^3}$ para $x\ge0$ no converge uniformemente, pero interpreté mal la pregunta como "mostrar $f(x)$ no es uniformemente continua".

El problema real pasó a mostrar que $f(x)$ es continua, pero me he quedado perplejo con la pregunta que he leído mal:

Es $f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{nx^2}{n^3+x^3}$ uniformemente continua en $[0,\infty)$ ?

Hoy he preguntado a mi profesor sobre el problema, pero desgraciadamente aún no hemos dado con la respuesta (y aunque mi profesor cree que $f(x)$ no es uniformemente continua, sospecho que sí).

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Cosas que he probado sobre $f(x)$ que pueda explicar o que se pueda suponer en una respuesta: La serie no converge uniformemente a $f(x)$ , $f(x)$ es continua, y $f(x)>\frac{x-1}{2}$ .

Answer 1

Creo que el derivado de $f$ está efectivamente acotado en $[0,\infty),$ lo que implica $f$ es uniformemente continua allí. Voy a dar un esquema: Escribamos

$$f(x) = x^2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3 + x^3}.$$

Esto dará

$$\tag 1 f'(x) = 2x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3 + x^3} + x^2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-3x^2n}{(n^3 + x^3)^2}.$$

(Esto se verifica en cualquier intervalo acotado, donde toda convergencia a la vista es uniforme. Como la diferenciación es una propiedad local, obtenemos $(1)$ .)

Ahora el lado derecho de $(1)$ estará acotado si mostramos

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3 + x^3} = O(1/x) \,\,\text { and } \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n^3 + x^3)^2} = O(1/x^4)$$

como $x\to \infty.$ Bien, lo dejaré aquí por ahora. Algunas cosas para comprobar.