Posible demostración de la fórmula integral de Cauchy para las derivadas - finalización y verificación

Question

En primer lugar, permítanme enunciar la fórmula integral de Cauchy:

Dejemos que $U$ sea una región abierta en el plano complejo y $D = \{z : |z-z_0| \leq R\}$ un disco en $U$ . Si $f : U \to \mathbb C$ es holomorfo y $\gamma$ es el límite de $D$ entonces para todos los puntos $a$ dentro del disco $$ f(a) = \frac 1{2i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\ dz$$

y la fórmula integral de Cauchy para las derivadas:

$$f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\ dz$$

La mayoría de los libros demuestran la segunda fórmula mediante la diferenciación de la primera fórmula y luego procediendo por inducción. Sin embargo, parece que Wikipedia quiere sugerir una prueba diferente que no he podido encontrar en ningún otro sitio, pero sólo dan pistas:

Desde ${\displaystyle 1/(z-a)}$ puede expandirse como una serie de potencias en la variable ${\displaystyle a}$ : ${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}}$ - se deduce que las funciones holomorfas son analíticas, es decir, que pueden expandirse como series de potencias convergentes. En particular, f es realmente infinitamente diferenciable

Así que me tomé el tiempo de tratar de entender lo que realmente están sugiriendo. Lo que sigue es mi intento de convertir la insinuación de Wikipedia en una prueba, sin embargo, es incompleta porque no sé cómo justificar el intercambio marcado en rojo de integral y serie:

Dejemos que $a$ sea un punto dentro de $D$ y $w$ un punto en el disco abierto más grande alrededor de $a$ contenida en $D$ . Entonces, $|w-a| < |z-a|$ para todos $z$ en $\gamma$ Así que $\left|\frac{w-a}{z-a}\right|<1$ y luego $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(w-a)^n}{(z-a)^{n+1}} = \frac{1}{z-a} \frac{1}{1-\frac{w-a}{z-a}} = \frac 1{(z-a)-(w-a)} = \frac 1{z-w} $$

Aplicando la fórmula integral de Cauchy: $$\begin{align} f(w) &= \frac 1{2i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-w}\ dz \\ &= \frac 1{2i}\oint_\gamma \sum_{n=0}^\infty f(z)\frac{(w-a)^n}{(z-a)^{n+1}}\ dz \\ &\color{red}{=} \sum_{n=0}^\infty \frac 1{2i}\oint_\gamma f(z)\frac{(w-a)^n}{(z-a)^{n+1}}\ dz \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac 1{2i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\ dz\right)(w-a)^n \end{align}$$ pero se trata de una serie de potencias en $w$ alrededor de $a$ . Y sabemos que las series de potencias son infinitamente diferenciables en su radio de convergencia con $$ f(w) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(w-a)^n $$ por lo tanto $$ f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\ dz $$

¿Es válido el intercambio marcado en rojo? Aparte del intercambio, ¿está todo bien?

Answer 1

Me apetecía ampliar la información, así que aquí tienes una respuesta más completa. Compruebe usted mismo lo siguiente:

• Utilice el Weierstrass $M$ -prueba para mostrar lo siguiente: Considere las funciones $f_n(\zeta)=\zeta^n$ definido para $|\zeta|<1$ . Entonces, para cualquier $0\leq r_0<1$ la serie $\sum_{n=0}^{\infty}f_n(\zeta)$ converge absoluta y uniformemente (a $\frac{1}{1-\zeta}$ ). Mientras tengamos una convergencia uniforme, podemos intercambiar fácilmente límites con integrales, series (que es a su vez un límite) con integrales.

Creo que este argumento de la serie de potencias es muy hábil porque se salta completamente el tema de la diferenciación bajo el signo de la integral, y demuestra directamente que holomorfo implica analítico, y además que la expansión de la serie de potencias es válida en todo el disco de la holomorficidad (si se diferencia bajo el signo de la integral, lo único que se consigue demostrar es que $f$ es infinitamente compleja y diferenciable, pero todavía hay que demostrar la existencia de una expansión en serie de potencias. Acabo de comprobar que todo este argumento ocupa unas 2-3 páginas en el libro de Ahlfors, pero sólo menos de 1 página en el libro de Cartan).

Por otro lado, hay que tener un poco de cuidado con los radios de los distintos discos; este es uno de esos "juegos de persecución de conjuntos abiertos". En cuanto a esto, tengo un problema con la prueba que propones:

Dejemos que $a$ sea un punto dentro de $D$ y $w$ un punto en el disco abierto más grande alrededor de $a$ contenida en $D$ . Entonces, $|w−a|<|z−a|$ para todos $z$ en $\gamma$ ,

No estoy seguro de que esto sea suficiente. Claro, de esta manera, para cada $w$ podemos ampliar como una serie $\frac{1}{z-w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(w-a)^n}{(z-a)^{n+1}}$ pero dudo que la convergencia sea uniforme (porque la prueba M de Weierstrass sólo garantiza la convergencia uniforme en subconjuntos compactos del disco unitario), así que tenemos que asegurar $\sup_{z,w}\left|\frac{(w-a)^n}{(z-a)^{n+1}}\right|<1$ y, por la forma en que lo has planteado, dudo que sea cierto. Así que, tal y como está escrito, tu intercambio de series e integrales no está justificado.

Así es como yo formularía el argumento (esencialmente lo que hace Cartan, excepto que él WLOG asume $z_0=0$ ) para demostrar que la holomorfía implica la analítica (y, por lo tanto, "leer" fácilmente la fórmula de las derivadas).

Demostraremos que para cada $0\leq r<R$ existe una serie de potencias centrada en $z_0$ que converge absoluta y uniformemente a $f$ en el disco $\{|w-z_0|\leq r\}$ . Pero ahora, por la unicidad de las expansiones en serie de potencias en torno a un punto, los coeficientes de esta serie no dependen en realidad de $r$ . Desde $0\leq r<R$ es arbitraria, se deduce que la serie de potencias tiene radio de convergencia $\geq R$ y tiene una suma igual a $f(w)$ Esto completará la prueba.

Ahora, dejemos que $0\leq r<r_0<R$ (el $r_0$ es el "colchón extra" que nos damos). Dejemos que $\gamma_0$ denotan el círculo orientado positivamente de radio $r_0$ centrado en $z_0$ . Ahora, para cualquier $|w-z_0|\leq r$ y $z$ en la cama $\gamma_0$ tenemos $\left|\frac{w-z_0}{z-z_0}\right|\leq \frac{r}{r_0}<1$ . Esto nos proporciona una estimación uniforme, de modo que podemos utilizar la prueba M de Weierstrass para deducir la convergencia uniforme y así intercambiar la serie y la integral. Así, para cualquier $|w-z_0|\leq r$ tenemos que $w$ se encuentra en el interior de $\gamma_0$ por lo que podemos utilizar la fórmula de Cauchy para obtener \begin{align} f(w)&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_0}\frac{f(z)}{z-w}\,dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_{0}}\frac{f(z)}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-z_0}{z-z_0}}\,dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_{0}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}(w-z_0)^n\,dz\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_{0}}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz\right)(w-z_0)^n. \end{align} Así, hemos encontrado una expansión en serie de potencias adecuada, y todos los pasos están justificados (quizás hasta algún error tipográfico), por lo que la prueba está completa.

Algunas observaciones que debo hacer: cuando hice la ampliación de la serie anterior, porque nos aseguramos \begin{align} \sup\limits_{\substack{|w-z_0|\leq r\\ |z-z_0|=r_0}}\left|\frac{w-z_0}{z-z_0}\right| &\leq \frac{r}{r_0}<1, \end{align} la serie geométrica converge absoluta y uniformemente con respecto a ambos $w$ y $z$ . Por lo tanto, después de integrar con respecto a $z$ la convergencia de la serie a $f(w)$ sigue siendo uniforme con respecto a $w$ ; así que todo es realmente tan bonito como puede ser. Por último, a posteriori, podemos invocar de nuevo el teorema de Cauchy para aplicar una homotopía a la trayectoria $\gamma_0$ sin cambiar ninguno de los valores de la integral. Así, no tenemos que suponer que nuestra trayectoria es un círculo de un radio determinado y con centro $z_0$ .