Pregunta sobre la expectativa de la tirada de dados

Question

Supongamos que tiras un dado 100 veces, ¿cuántas veces esperas que aparezca el número más común?

Por ejemplo, lanzar un dado 100 veces y documentar la frecuencia de cada valor, luego repetir este proceso infinitas veces y tomar la media de la frecuencia más alta de cada ensayo.

¿Existe alguna forma de obtener una fórmula o enfoque para calcular dicho valor?

Answer 1

Según la fórmula de la función de masa de probabilidad multinomial, la frecuencia máxima esperada en $n$ tiradas de un dado justo es $$e_n=\frac1{6^n}\sum\frac{n!}{x_1!\cdots x_6!}\,\max(x_1,\dots,x_6),$$ donde la suma se realiza sobre todos los $n$ -tuplas $(x_1,\dots,x_6)$ de números enteros no negativos tales que $x_1+\dots+x_6=n$ . No parece haber ninguna razón para la existencia de una expresión más simple para $e_n$ .

Mathematica calcula $$e_{30}=\frac{3063261583291047469655}{383808888404050968576}$$ en unos 7 segundos, y $$e_{40}=\frac{936567872552422596737147305735}{92829823186414819915547541504}$$ en unos 33 segundos. Es probable que se tarde mucho en calcular $e_{100}$ .