por qué los dos gráficos son automáticamente $C^{\infty}$ - ¿compatible?

Question

En el libro de texto está escrito que

Dos gráficos $(U, \phi: U \to \mathbb{R}^n), (V, \psi: V\to \mathbb{R}^n )$ de una variedad topológica son $C^{\infty}$ compatible si los dos mapas $$\phi \circ \psi^{-1} : \psi(U \cap V) \to \phi(U \cap V), \; \psi \circ \phi^{-1} : \phi(U \cap V) \to \psi(U \cap V)$$ son $C^\infty$ .

Si $U \cap V$ vacío, entonces los dos gráficos son automáticamente $C^{\infty}$ - compatible

Mi confusión : No entiendo por qué dos gráficos son automáticamente $C^{\infty}$ - ¿compatible?

Mi opinión : Si $U \cap V = \emptyset$ .entonces $\phi \circ \psi^{-1} : \psi(U \cap V) \to \phi(U \cap V) \implies \phi \circ \psi^{-1}:\emptyset \to \emptyset $

$\phi \circ \psi^{-1}= \emptyset$

Creo que no existen tales funciones que mapeen $\emptyset$ a $\emptyset$

Además, esto no tiene sentido porque $\psi(U \cap V)$ y $\phi(U \cap V)$ son subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}^n$ si $U \cap V =\emptyset$

Answer 1

Si $U \cap V = \emptyset$ entonces $\phi(U \cap V)$ y $\psi(U \cap V)$ son ambos el conjunto vacío en $\mathbb R^n$ . Así que están abiertos en $\mathbb R^n$ .

El mapa $\phi \circ \psi^{-1}: \emptyset \rightarrow \emptyset$ (que a su vez es el conjunto vacío) es un difeomorfismo. Es suave porque es diferenciable en cada punto de $\emptyset$ . Su inversa también es suave.