¿Por qué la intersección de dos formas cuadráticas implica una curva elíptica?

Question

Dejemos que $k$ sea un campo y $S=k[T_0,T_1,T_2,T_3]$ y $f,g\in S_2$ dos formas cuadráticas relativamente primeras. ¿Cómo puedo demostrar que la intersección $X\subset \mathbb P_k^3$ de superficies de segundo grado $V_+(f)$ y $V_+(g)$ tiene el género 1?

¿Esto se deduce del teorema de syzygy o qué debo usar aquí?

Answer 1

Sí, una forma es, efectivamente, utilizar syzygies.

Denotemos la curva por $C$ . Entonces hay una resolución de la forma $$ 0 \to \mathscr O_{\mathbb P^3}(-4) \to \mathscr O_{\mathbb P^3}(-2)^{\oplus 2} \xrightarrow{\alpha} \mathscr O_{\mathbb P^3} \to \mathscr O_C \to 0. $$

Esta no es una secuencia exacta corta, así que tenemos que dividirla en dos secuencias exactas cortas:

$$ 0 \to \ker \alpha \to \mathscr O_{\mathbb P^3} \to \mathscr O_C \to 0. $$

y

$$ 0 \to \mathscr O_{\mathbb P^3}(-4) \to \mathscr O_{\mathbb P^3}(-2)^{\oplus 2} \to \ker \alpha \to 0. $$

Estamos interesados en $H^1(\mathscr O_C)$ . Por la secuencia exacta larga de cohomología, tenemos $$ 0 \to H^1(\mathscr O_C) \to H^2(\ker \alpha) \to 0 $$ desde $H^1(\mathscr O_{\mathbb P^3})=H^2(\mathscr O_{\mathbb P^3})=0$ . Entonces de la segunda secuencia exacta obtenemos: $$ 0 \to H^2(\ker \alpha) \to H^3(\mathscr O_{\mathbb P^3}(-4)) \to H^3(\mathscr O_{\mathbb P^3}(-2))^{\oplus 2}=0 $$ Por lo tanto, $h^2(\ker \alpha)=h^3(\mathscr O_{\mathbb P^3}(-4))=h^0(\mathscr O_{\mathbb P^4})=1$ .