¿Cómo definir esta homotopía?

Question

Estaba tratando de demostrar que $Fe \sim F$ . Aquí $\sim$ denotan homotopía y $e$ la trayectoria constante y $F$ un camino.

Mi idea es: El $Fe$ significa que durante la primera mitad del tiempo es $F$ y para el resto es $e$ . $F$ significa que es $F$ para todo el tiempo. Por lo tanto, la homotopía hace que el $e$ más pequeño hasta que sea sólo un punto. Denotemos la homotopía definida por $H(x,t)$ . El $x$ es el tiempo en los caminos y el $t$ es el tiempo de la homotopía. Significa que en $t=0$ , $H$ es $F$ para $0 \le x \le ?$ y $H$ es $e$ para $? \le x \le 1$ . El $?$ es una expresión de $t$ . En $t=0$ el $?$ es igual a $1/2$ y en $t=1$ es igual a $1$ . Así que determiné que $?$ debería ser probablemente igual a ${t+1 \over 2}$ . Entonces

$$ \begin{array}{ccc} H(x,t) = & F(!) & 0 \le x \le {t+1 \over 2}\\ & e(!!) & {t+1 \over 2} \le x \le 1 \end{array}$$

aquí $!$ y $!!$ son expresiones de $x$ . Desde $!$ debe estar en $[0,1]$ se deduce que $! = {x \over {t+1 \over 2}} = {2x \over t + 1}$ .

Mi problema es el siguiente: $!!$ debe ser ${x - {t+1 \over 2} \over 1 - {t+1 \over 2}}$ pero esta expresión es $\infty $ para $t=1$ .

¿Pueden ayudarme a corregir mi error?

Answer 1

Hay un enfoque mejor para este problema que puedes utilizar para otras situaciones como ésta. La belleza de esto es que esencialmente sólo dibujar la imagen intuitiva de lo que está sucediendo y luego simplemente leer la información fuera.

Dejemos que $\alpha : I \to X$ sea un camino con $\alpha(0) = x$ y $\alpha(1)$ = y. Siguiendo la notación de Hatcher, tenemos que $$ \alpha * \operatorname{const}_x(s) = \begin{cases} \alpha(2s) & \text{if } 0 \leq s \leq 1/2, \\ \operatorname{const}_x = x & \text{if } 1/2 \leq s \leq 1. \end{cases} $$ y $$ \operatorname{const}_x * \alpha (s) = \begin{cases} \operatorname{const}_x = x & \text{if } 0 \leq s \leq 1/2, \\ \alpha(2s - 1) & \text{if } 1/2 \leq s \leq 1. \end{cases} $$

Queremos exhibir una homotopía $H : I \times I \to X$ tal que $H_0(s) = \alpha * \operatorname{const}_x(s)$ y $H_1(s) = \alpha(s)$ . Pictóricamente, tenemos,

Cada una de ellas puede describirse como una función lineal a trozos simplemente leyendo las ecuaciones de las líneas que dividen el cuadrado. Explícitamente, para el primer cuadrado tenemos, $$ \varphi : I \to I, \qquad s \mapsto \begin{cases} 2t & \text{if } 0 \leq t \leq 1/2, \\ 1 & \text{if } 1/2 \leq t \leq 1, \end{cases} $$ y para el segundo cuadrado tenemos $$ \psi : I \to I, \qquad t \mapsto \begin{cases} 1 & \text{if } 0 \leq t \leq 1/2, \\ -2t + 2 & \text{if } 1/2 \leq t \leq 1, \end{cases} $$

La clave ahora es que estos dos son homotópicos al $\operatorname{id}_I$ a través de $$ \varphi_s(t) = (1 - s) \varphi(t) + st \qquad \text{ and } \qquad \psi_s(t) = (1 - s) \psi(t) + st. $$

Las homotopías deseadas son entonces $\alpha \big( \varphi_s(t)\big)$ y $\alpha \big( \psi_s(t)\big)$ .