Ejercicio sobre conjuntos abiertos y cerrados

Question

Considere $\Bbb R^2$ con la topología habitual. Sea $X$ sea el conjunto $X=(1,2) \times \Bbb Z$ y $B=\left \{ (x,0): 1<x<2 \right \}$ . Demostrar que $B$ está abierto y cerrado en $X$ .

Mi solución es: como $X= \emptyset$ tenemos que $B$ está cerrado, porque $B^c=\emptyset$ en $X$ , que está abierto (y cerrado). Pero $B$ también está abierto en $X$ porque $B^c$ está cerrado en $X$ .

¿Tiene sentido mi razonamiento?

Answer 1

Creo que has entendido mal las definiciones - $X$ no es el vacío, es el subconjunto de $\Bbb{R}^2$ de todos los pares ordenados $(x,y)$ tal que $x\in (1,2)$ (es decir $1<x<2$ ) y $y\in \mathbb{Z}$ . Ahora, $B$ es el subconjunto de $X$ de todos los pares ordenados $(x,y)$ tal que $1<x<2$ y $y=0$ . En otras palabras, $B=(1,2)\times \{0\}$ . Desde $(1,2)$ está abierto en $(1,2)$ y $\{0\}$ está abierto en $\mathbb{Z}$ , $B=(1,2)\times \{0\}$ está abierto en $X=(1,2)\times \mathbb{Z}$ . Por otro lado, el complemento de $B$ es $B^c=(1,2)\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ ; de nuevo, ya que $(1,2)$ está abierto en $(1,2)$ y $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ está abierto en $\mathbb{Z}$ , obtenemos que $B^c=(1,2)\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ está abierto en $X$ y por lo tanto $B$ está cerrado en $X$ .

¿Está más claro ahora?