Considera listas de longitud 4 hechas con los símbolos A,B,C,D,E,F,G. ¿Cuántas hay si se permite la repetición y la lista tiene una E?

Question

Esta pregunta es del Libro de las Pruebas de Richard H. Inicialmente pensé que puedo hacer $(1 \cdot 7^3) \cdot 4 = 1372$ porque pensé que si una entrada tiene E, entonces todas las demás entradas pueden tener cualquier símbolo.

Entendí que estaba equivocado cuando leí la solución:

Ahora buscamos el número de longitudes $4$ listas en las que se permite la repetición y la lista debe contener una E. Esta es nuestra estrategia: Por la parte (a) de este ejercicio hay $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^4 = 2401$ listas con repetición permitida. Obviamente, esta no es la respuesta a nuestra pregunta actual, ya que muchas de estas listas no contienen E. Restaremos de $2401$ el número de listas que no contienen una E. Al hacer una lista que no contiene una E, tenemos seis opciones para cada entrada de la lista (porque podemos elegir cualquiera de las seis letras A, B, C, D, F o G). Por lo tanto, hay $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 = 1296$ listas sin una E. Así que la respuesta a nuestra pregunta es que hay $2401 1296 = 1105$ listas con repetición permitida que contienen al menos una E.

pero todavía no estoy seguro de por qué mi enfoque tendría $267$ más listas. Creo que no entiendo lo que $(1 \cdot 7^3) \cdot 4$ representaría.

Answer 1

Para enumerar la diferencia entre su intento y la solución, considere el número de cadenas que tienen exactamente $i$ Es:

• Exactamente $1$ E: $(1\cdot 6^3)\cdot 4 = 864$
• Exactamente $2$ Es: $6^2\cdot \binom42 = 216$
• Exactamente $3$ Es: $6^1\cdot \binom43 = 24$
• Exactamente $4$ Es: $6^0\cdot \binom 44 = 1$

La solución dada suma las cuentas anteriores:

$$864+216+24+1 = 1105 \text{}$$

Mientras que su intento sobrecontaba incorrectamente las cadenas, al contar cada cadena el número de veces que aparece E:

$$864\cdot 1+216\cdot2+24\cdot3+1\cdot 4 = 1372$$

Answer 2

Parece que estás intentando contar secuencias que contienen una E colocando una E, y luego rellenando el resto de letras. Sin embargo, si va a hacer eso, tiene que tener en cuenta el número de Es y su ubicación. De lo contrario, contará los casos con más de una E varias veces.

Exactamente una E: Hay cuatro formas de colocar la E. Hay seis opciones para cada una de las tres posiciones restantes. Por lo tanto, hay $4 \cdot 6^3$ tales secuencias.

Exactamente dos Es: Hay $\binom{4}{2}$ formas de seleccionar dos de las cuatro posiciones para la Es. Hay seis opciones para cada una de las dos posiciones restantes. Por lo tanto, hay $\binom{4}{2} \cdot 6^2$ tales secuencias.

Exactamente tres Es: Hay $\binom{4}{3}$ formas de seleccionar tres de las cuatro posiciones para la Es. Hay seis opciones para la posición restante. Por lo tanto, hay $\binom{4}{3} \cdot 6$ tales secuencias.

Exactamente cuatro Es: Hay una forma de llenar las cuatro posiciones con Es.

Total: Como los cuatro casos anteriores son mutuamente excluyentes y exhaustivos, hay $$\binom{4}{1}6^3 + \binom{4}{2}6^2 + \binom{4}{3}6 + \binom{4}{4} = 1105$$ secuencias con al menos una E.

¿Por qué ha obtenido $267$ ¿más listas?

Has contado cada secuencia con dos eses dos veces, cada secuencia con tres eses tres veces y la secuencia con cuatro eses cuatro veces.

Consideremos, por ejemplo, la secuencia ABEE. Has contado esta secuencia dos veces, dependiendo de la posición que hayas designado como la E que debe aparecer en la secuencia: $AB\color{red}{E}E, ABE\color{red}{E}$ .

Del mismo modo, has contado la secuencia AEEE tres veces, de nuevo dependiendo de la E que hayas designado como la que debe aparecer en la secuencia: $A\color{red}{E}EE, AE\color{red}{E}E, AEE\color{red}{E}$ .

Has contado la secuencia EEEE cuatro veces, según la E que hayas designado como la que debe aparecer en la secuencia: $\color{red}{E}EEE, E\color{red}{E}EE, EE\color{red}{E}E, EEE\color{red}{E}$ .

Observe que $$1 \cdot 4 \cdot 7^3 = \binom{4}{1}6^3 + \color{red}{2}\binom{4}{2}6^2 + \color{red}{3}\binom{4}{3}6 + \color{red}{4}\binom{4}{4}$$ Sólo queremos contar cada secuencia una vez. Por lo tanto, el exceso que has añadido al designar una E particular como la E que debe estar en la secuencia es $$\binom{4}{2}6^2 + 2 \cdot \binom{4}{3}6 + 3\binom{4}{4} = 216 + 48 + 1 = 267$$

Answer 3

Lo pensé de manera ligeramente diferente, pero si se reorganiza es esencialmente el mismo método: $$\text{number of possible combinations}=7^4=2401$$ $$\text{probability of a list not containing E}=\left(\frac67\right)^4$$ $$\text{probability of a list containing E}=1-\left(\frac67\right)^4$$ $$\text{number of combinations containing E}=\text{number of possible combinations}\times \text{probability of a list containing E}=7^4\left[1-\left(\frac67\right)^4\right]=1105$$

Quizás este método tenga más sentido para ti. Como otros han comentado su método estaría bien excepto que habrá muchas repeticiones, como por ejemplo: $$AAAE,BBBE,EEEE$$ etc.

Answer 4

Esto es esencialmente lo mismo que el cálculo de Henry Lee, pero sólo contando, sin introducir la probabilidad. Si se ignora temporalmente el requisito de tener al menos una E, el número de posibilidades es $7^4=2401$ . Ahora preste atención al requisito de "contener una E". Entre los $2401$ opciones anteriores, el número de posibilidades que no contienen una E es $6^4=1296$ . Por lo tanto, el número de posibilidades que hacer contienen una E es $2401-1296=1105$ .