Dejemos que $p:E\rightarrow B$ sea una fibración de Serre de espacios conectados por trayectorias con la fibra $F$ . ¿Son los homomorfismos de conexión $\partial:\pi_{n+1}(B)\rightarrow \pi_{n}(F)$ en la larga secuencia exacta de $p$ inducido por un continuo mapa $\Omega B\rightarrow F$ ?
Respuesta
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Chris
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Consideremos el fibrado de la trayectoria $PB \to B$ Suponiendo que hayas elegido un punto base en $B$ . Este mapa es homotópico nulo. Un mapa constante $PB \to B$ eleva al mapa de preservación del punto base único $PB \to E$ (constante el punto base en $F$ ). Por lo tanto, siempre que su fibrado satisfaga la propiedad de elevación de homotopía para el caso especial del fibrado de trayectoria sobre $B$ , se obtiene un mapa $PB \to E$ cubriendo el fibrado de la trayectoria $PB \to E$ . Restringiendo esto al espacio del bucle $\Omega B \subset PB$ da un mapa $\Omega B \to F$ .
Supongo que es conocido y bastante fácil comprobar si las fibraciones de Serre tienen o no esta propiedad, pero ciertamente las fibraciones generales la tienen (digamos, tomando la definición de fibración del libro de Hatcher).
¿Le interesaba este detalle técnico sobre la distinción entre fibraciones y fibraciones de Serre, o estaba más interesado en la cuestión general de cuándo el homomorfismo de conexión es inducido por un mapa real de espacios?
