Comparación entre el $\ell_1$ y $\ell_2$ normas

Question

Estoy tratando de demostrar que para $x \in \mathbb{R}^n$ $$\frac{1}{\sqrt{n}}||x||_1 \le ||x||_2 \le ||x||_1$$ Hasta ahora he demostrado con éxito que $||x||_2 \le ||x||_1$ que era bastante fácil. Tomé el cuadrado de ambas normas y lo usé para mostrar que $||x||_2^2 \le ||x||_1^2$ . El resultado necesario se obtiene fácilmente.

Donde me estoy atascando es en probar que $\frac{1}{\sqrt{n}}||x||_1 \le ||x||_2$ . Volví a tomar el cuadrado de ambas normas, lo que da como resultado $$(\frac{1}{\sqrt{n}}||x||_1)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n|x_i|^2+\frac{2}{n}\sum_{i \neq j}|x_i||x_j|$$ y $$(||x||_2)^2 = \sum_{i=1}^n|x_i|^2$$

Mi siguiente paso fue demostrar que $\frac{2}{n}\sum_{i \neq j}|x_i||x_j|$ debe ser menor que la diferencia entre $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n|x_i|$ y $\sum_{i=1}^n|x_i|$ lo que significa que $$\frac{2}{n}\sum_{i \neq j}|x_i||x_j| \le \frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i|$$ Que es donde estoy ahora atascado. ¿Hay alguna identidad que me falte aquí que haga esto más fácil?

Answer 1

Utilizando el llamado $1$ -(una aplicación especial de la desigualdad de Cauchy-Schwarz):

$$||x||_1^2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 = \left( \sum_{i=1}^n 1 \times x_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^n 1^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n x_i ^2 \right) = n \times ||x||_2 ^2$$

Donde $x=(x_1,...,x_n)$ .

Answer 2

Considere una secuencia (en algún orden) de $n^2$ términos que contiene de cada uno de $\{|x_1|, |x_2|,\ldots, |x_n|\}$ repetido $n$ tiempos. Ahora utilizamos el desigualdad de reordenación en la siguiente suma con $n^2$ sumandos, para sacar la conclusión roja:

$$\left(\frac{1}{\sqrt{n}}||x||_1\right)^2=\frac{1}{n}\sum_{(i,j)} |x_i||x_j|{\color{red} \le}\frac{1}{n}\sum_{(i,j)} |x_i||x_i|=\sum_{i=1}^n |x_i|^2$$